İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 19, 36, 32, 17, 18.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 100 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. 70 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 100σ = 15x = 70

z =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,25, 0,25, 0,25

Var(X) =

4.OlasılıkZor

10 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,2 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 10p = 0,2

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,9049 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,9049

z =

6.Normal dağılımZor

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %5 olan x değerini bulun (5. yüzdelik).

μ = 32σ = 6P = 5%

x = min

7.Güven aralıklarıOrta

7 birimlik bir örneklemin ortalaması 112,5 ve standart sapması s = 6,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 7x̄ = 112,5s = 6,595%t(6) = 2,447

alt sınır =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 31. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 2,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 31E = 2,599%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 5 öğrenci, ortalama puan 65, standart sapma 6,5. Grup 2: 17 öğrenci, ortalama puan 59, standart sapma 11,5. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.

n₁ = 5x̄₁ = 65s₁ = 6,5n₂ = 17x̄₂ = 59s₂ = 11,5

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

16 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 117,2. Anakütle standart sapması 4. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.

x̄ = 117,2σ = 4n = 1690%

L =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 15Σy = 104Σx² = 55Σy² = 2206Σxy = 292

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 17 tahmin eder?

n = 5ŷ = 17

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 8,905

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 122/5 = 24,4

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−5,4)² + 11,6² + 7,6² + (−7,4)² + (−6,4)² = 317,2

Standart sapma

s = √(317,2/4) = 8,905

Cevap

s = 8,905

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −2

Standartlaştırın

z = (70 − 100)/15 = −2

Cevap

z = −2

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 125

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 10·0,25 + 20·0,25 + 30·0,25 + 40·0,25 = 25

Karelerin ortalaması

E(X²) = 100·0,25 + 400·0,25 + 900·0,25 + 1600·0,25 = 750

Varyans

Var(X) = 750 − 25² = 125

Cevap

Var(X) = 125

4.Olasılık

Cevap: P = 0,3758

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,8¹⁰ = 0,1074

P(X = 1) = 10·0,2·0,8⁹ = 0,2684

Toplayın

P = 0,1074 + 0,2684 = 0,3758

Cevap

P = 0,3758

5.Normal dağılım

Cevap: z = −1,31

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,9049 = 0,0951

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,0951 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = −1,31

Cevap

z = −1,31

6.Normal dağılım

Cevap: x = 22,13 min

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

x’e geri dönüş

x = 32 + −1,645·6 = 22,13 min

Cevap

x = 22,13 min

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 106,5

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 6, t = 2,447

Hata payı

E = 2,447·6,5/√7 = 6,012

Aralık

112,5 ± 6,012 → [106,5, 118,5]

Cevap

alt sınır = 106,5

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 1021

n'yi çözün

n = (2,576·31/2,5)² = 1020

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 1021

Cevap

n = 1021

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 1,103

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Birleştirilmiş varyans

s_p² = (4·6,5² + 16·11,5²)/20 = 114,3

s_p = 10,69

Standart hata

SE = 10,69·√(1/5 + 1/17) = 5,438

Test istatistiği

t = (65 − 59)/5,438 = 1,103

Cevap

t = 1,103

df = 20 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,086; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: L = 115,6

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 1,645·4/√16 = 1,645

Aralık sınırı

L = 117,2 − 1,645 = 115,6

Cevap

L = 115,6

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = −0,9667

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 292 − 15·104/5 = −20

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 2206 − 104²/5 = 42,8

Korelasyon katsayısı

r = −20/√(10·42,8) = −0,9667

Cevap

r = −0,9667

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 2,714

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 82/5 = 16,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21

Regresyon doğrusu

b = −21/10 = −2,1

a = 16,4 − (−2,1)·3 = 22,7

ŷ = 22,7 − 2,1·x

x için çözün

x = (17 − 22,7)/(−2,1) = 2,714

Cevap

x = 2,714

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1