İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 52, 22, 52, 27, 58, 15, 20.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 60 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. 64,8 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 60σ = 8x = 64,8

z =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,35, 0,25, 0,1

σ =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 3X − 3. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 3X − 3

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 166,8 ile 179,75 cm arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 178σ = 7x₁ = 166,8x₂ = 179,75

P =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %70 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 65 puanσ = 10 puan70%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

7 birimlik bir örneklemin ortalaması 44 ve standart sapması s = 18,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 7x̄ = 44s = 18,595%t(6) = 2,447

alt sınır =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 4. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 1,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 4E = 1,599%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 8 öğrenci, ortalama puan 98,5, standart sapma 9,5. Grup 2: 14 öğrenci, ortalama puan 90,8, standart sapma 2,5. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.

n₁ = 8x̄₁ = 98,5s₁ = 9,5n₂ = 14x̄₂ = 90,8s₂ = 2,5

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir denemede A tedavisi alan 120 hastadan 30’i, B tedavisi alan 200 hastadan 28’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.

x₁ = 30n₁ = 120x₂ = 28n₂ = 200

z =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6Σx = 42Σy = 140Σx² = 364Σy² = 3988Σxy = 1204

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 9 için ŷ tahminini yapın.

n = 5x = 9

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 18,1

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 246/7 = 35,14

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 16,86² + (−13,14)² + 16,86² + (−8,143)² + 22,86² + (−20,14)² + (−15,14)² = 1965

Standart sapma

s = √(1965/6) = 18,1

Cevap

s = 18,1

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = 0,6

Standartlaştırın

z = (64,8 − 60)/8 = 0,6

Cevap

z = 0,6

3.Olasılık

Cevap: σ = 0,9631

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,25 + 4·0,1 = 2,15

Karelerin ortalaması

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,25 + 16·0,1 = 5,55

Varyans

Var(X) = 5,55 − 2,15² = 0,9275

σ = √0,9275 = 0,9631

Cevap

σ = 0,9631

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 2,414

X’in yayılımı

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Doğrusal değişim

σ_Y = |3|·0,8047 = 2,414

Cevap

σ_Y = 2,414

Ortalama ise kayar: E(Y) = 3·1,05 − 3 = 0,15.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,5439

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (166,8 − 178)/7 = −1,6

z₂ = (179,75 − 178)/7 = 0,25

Aradaki alan

P = Φ(0,25) − Φ(−1,6) = 0,5987 − 0,0548 = 0,5439

Cevap

P = 0,5439

6.Normal dağılım

Cevap: x = 70,2 puan

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,7

Tablodan z

z ≈ 0,52

Özgün birimlere geri dönüş

x = 65 + 0,52·10 = 70,2 puan

Cevap

x = 70,2 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 26,89

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 6, t = 2,447

Hata payı

E = 2,447·18,5/√7 = 17,11

Aralık

44 ± 17,11 → [26,89, 61,11]

Cevap

alt sınır = 26,89

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 48

n'yi çözün

n = (2,576·4/1,5)² = 47,19

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 48

Cevap

n = 48

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 2,91

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Birleştirilmiş varyans

s_p² = (7·9,5² + 13·2,5²)/20 = 35,65

s_p = 5,971

Standart hata

SE = 5,971·√(1/8 + 1/14) = 2,646

Test istatistiği

t = (98,5 − 90,8)/2,646 = 2,91

Cevap

t = 2,91

df = 20 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,086; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: z = 2,473

Örneklem oranları

p̂₁ = 30/120 = 0,25

p̂₂ = 28/200 = 0,14

p̂ = 58/320 = 0,1812

H₀ altında standart hata

SE = √(0,1812·0,8187·(1/120 + 1/200)) = 0,04448

Test istatistiği

z = (0,25 − 0,14)/0,04448 = 2,473

Cevap

z = 2,473

|z| > 1,96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9969

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 1204 − 42·140/6 = 224

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 3988 − 140²/6 = 721,3

Korelasyon katsayısı

r = 224/√(70·721,3) = 0,9969

Cevap

r = 0,9969

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 35,8

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 122/5 = 24,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

Regresyon doğrusu

b = 152/40 = 3,8

a = 24,4 − 3,8·6 = 1,6

ŷ = 1,6 + 3,8·x

Tahmin

ŷ = 1,6 + 3,8·9 = 35,8

Cevap

ŷ = 35,8

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1