İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 32, 32, 36, 15, 60, 20.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 170 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 200'ün üstündedir?

μ = 170σ = 15x = 200

P =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 5 kırmızı ve 7 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

5 / 7

P =

4.OlasılıkZor

8 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,4 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 8p = 0,4

P =

5.Normal dağılımOrta

X ortalaması 12 min, standart sapması 1,5 min olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 20 min, standart sapması 2 min olan normaldir. X + Y’nin 34,5 min değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 34,5 min

P =

6.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %75 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 178 cmσ = 7 cm75%

x = cm

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 80 telefon, ortalama 79,5 h, bilinen standart sapma 4 h. Model 2: 100 telefon, ortalama 74 h, bilinen standart sapma 4 h. μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.

n₁ = 80x̄₁ = 79,5 hσ₁ = 4 hn₂ = 100x̄₂ = 74 hσ₂ = 4 h90%

alt sınır = h

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 14. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 0,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 14E = 0,599%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

16 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark 0,85 ve farkların standart sapması 2,6. H₀: μ_d = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.

n = 16d̄ = 0,85s_d = 2,6

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

100 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 76,2. Anakütle standart sapması 5. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.

x̄ = 76,2σ = 5n = 10090%

L =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (5,5, 63) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(5,5, 63)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 15,69

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 195/6 = 32,5

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−0,5)² + (−0,5)² + 3,5² + (−17,5)² + 27,5² + (−12,5)² = 1232

Standart sapma

s = √(1232/5) = 15,69

Cevap

s = 15,69

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,02275

Standartlaştırın

z = 2

Standart normal tablo

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Cevap

P = 0,02275

3.Olasılık

Cevap: P = 0,1515

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 5/12 · 4/11 = 20/132 = 0,1515

Cevap

P = 0,1515

4.Olasılık

Cevap: P = 0,1064

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,6⁸ = 0,0168

P(X = 1) = 8·0,4·0,6⁷ = 0,08958

Toplayın

P = 0,0168 + 0,08958 = 0,1064

Cevap

P = 0,1064

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,1587

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Standartlaştırın

z = (34,5 − 32)/2,5 = 1

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Cevap

P = 0,1587

6.Normal dağılım

Cevap: x = 173,3 cm

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,25

Tablodan z

z ≈ −0,67

Özgün birimlere geri dönüş

x = 178 − 0,67·7 = 173,3 cm

Cevap

x = 173,3 cm

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 4,513 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 79,5 − 74 = 5,5

Standart hata

SE = √(4²/80 + 4²/100) = 0,6

Hata payı

E = 1,645·0,6 = 0,987

Aralık

5,5 ± 0,987 → [4,513, 6,487]

Cevap

alt sınır = 4,513 h

Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 5203

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (2,576·14/0,5)² = 5202

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 5203

Cevap

n = 5203

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 1,308

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ortalama farkın standart hatası

SE = 2,6/√16 = 0,65

Test istatistiği

t = 0,85/0,65 = 1,308

Cevap

t = 1,308

df = 15 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,131; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: L = 75,38

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 1,645·5/√100 = 0,8225

Aralık sınırı

L = 76,2 − 0,8225 = 75,38

Cevap

L = 75,38

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9292

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 78/5 = 15,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 117,2

Belirlilik katsayısı

r² = −33²/(10·117,2) = 0,9292

Cevap

r² = 0,9292

y’deki değişimin yaklaşık %92,92’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 3,4

Ortalamalar

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 259/5 = 51,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52

Regresyon doğrusu

b = 52/10 = 5,2

a = 51,8 − 5,2·4 = 31

ŷ = 31 + 5,2·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 31 + 5,2·5,5 = 59,6

Artık

e = 63 − 59,6 = 3,4

Cevap

e = 3,4

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1