İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 50, 56, 47, 15, 35, 54.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 500 ve standart sapması 60 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 440'ün üstündedir?

μ = 500σ = 60x = 440

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,15, 0,35, 0,3

σ =

4.OlasılıkZor

Bir testte 6 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,2 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 1 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 6p = 0,2k = 1

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,1469 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,1469

z =

6.Normal dağılımZor

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %80 olan x değerini bulun (80. yüzdelik).

μ = 500σ = 40P = 80%

x = h

7.Güven aralıklarıOrta

16 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 2,1 ve standart sapması 6. Ortalama fark için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 16d̄ = 2,1s_d = 699%t(15) = 2,947

E = mmHg

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 35. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 35E = 599%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

81 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 499,5, örneklem standart sapması 5. H₀: μ = 500 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 500x̄ = 499,5s = 5n = 81

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

64 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 199,3. Anakütle standart sapması 4. Ortalama için %99 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 199,3σ = 4n = 6499%

U =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 6

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 22 tahmin eder?

n = 6ŷ = 22

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 15,51

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 257/6 = 42,83

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 7,167² + 13,17² + 4,167² + (−27,83)² + (−7,833)² + 11,17² = 1203

Standart sapma

s = √(1203/5) = 15,51

Cevap

s = 15,51

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,8413

Standartlaştırın

z = −1

Standart normal tablo

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Cevap

P = 0,8413

3.Olasılık

Cevap: σ = 10,9

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 10·0,2 + 20·0,15 + 30·0,35 + 40·0,3 = 27,5

Karelerin ortalaması

E(X²) = 100·0,2 + 400·0,15 + 900·0,35 + 1600·0,3 = 875

Varyans

Var(X) = 875 − 27,5² = 118,8

σ = √118,8 = 10,9

Cevap

σ = 10,9

4.Olasılık

Cevap: P = 0,3932

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binom formülü

P(X = 1) = 6·0,2¹·0,8⁵ = 6·0,2·0,3277 = 0,3932

Cevap

P = 0,3932

5.Normal dağılım

Cevap: z = 1,05

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,1469 = 0,8531

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,8531 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 1,05

Cevap

z = 1,05

6.Normal dağılım

Cevap: x = 533,7 h

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

x’e geri dönüş

x = 500 + 0,8416·40 = 533,66 h

Cevap

x = 533,66 h

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 4,421 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritik değer

df = 15, t = 2,947

Hata payı

E = 2,947·6/√16 = 4,421

Cevap

E = 4,421 mmHg

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 326

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (2,576·35/5)² = 325,2

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 326

Cevap

n = 326

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −0,9

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556

Test istatistiği

t = (499,5 − 500)/0,5556 = −0,9

Cevap

t = −0,9

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 200,6

Hata payı

E = 2,576·4/√64 = 1,288

Aralık sınırı

U = 199,3 + 1,288 = 200,6

Cevap

U = 200,6

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9505

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 118/6 = 19,67

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −57

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 195,3

Belirlilik katsayısı

r² = −57²/(17,5·195,3) = 0,9505

Cevap

r² = 0,9505

y’deki değişimin yaklaşık %95,05’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 3,722

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 135/6 = 22,5

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −39,5

Regresyon doğrusu

b = −39,5/17,5 = −2,257

a = 22,5 − (−2,257)·3,5 = 30,4

ŷ = 30,4 − 2,257·x

x için çözün

x = (22 − 30,4)/(−2,257) = 3,722

Cevap

x = 3,722

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1