İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 13, 26, 34, 11, 42, 43, 47.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 50 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 42'ün üstündedir?

μ = 50σ = 8x = 42

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,35, 0,2, 0,2

Var(X) =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 0,5X + 10. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,35, 0,1, 0,35Y = 0,5X + 10

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

X ortalaması 60 s, standart sapması 5 s olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 45 s, standart sapması 4 s olan normaldir. X + Y’nin 117,8 s değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 117,8 s

P =

6.Normal dağılımZor

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %80 olan x değerini bulun (80. yüzdelik).

μ = 100σ = 15P = 80%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

6 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 5,2 ve standart sapması 3. Ortalama fark için %90 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 6d̄ = 5,2s_d = 390%t(5) = 2,015

E = mmHg

8.Güven aralıklarıZor

Bir pilot çalışma ürünlerin yaklaşık 0,2 kadarının kusurlu olduğunu gösteriyor. Oran için %95 güven aralığının hata payının en fazla 0,05 olması için kaç ürün n incelenmelidir?

p ≈ 0,2E = 0,0595%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

Bir anakütlenin ortalamasının 120 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 3 olduğu biliniyor. 36 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 118,89. H₀: μ = 120’a karşı H₁: μ ≠ 120 test edin. p-değeri p değerini bulun.

μ₀ = 120σ = 3n = 36x̄ = 118,89H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

49 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 199,4. Anakütle standart sapması 5. Ortalama için %99 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 199,4σ = 5n = 4999%

U =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 16 tahmin eder?

n = 5ŷ = 16

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 14,6

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 216/7 = 30,86

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−17,86)² + (−4,857)² + 3,143² + (−19,86)² + 11,14² + 12,14² + 16,14² = 1279

Standart sapma

s = √(1279/6) = 14,6

Cevap

s = 14,6

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,8413

Standartlaştırın

z = −1

Standart normal tablo

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Cevap

P = 0,8413

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 1,127

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,25 + 1·0,35 + 2·0,2 + 3·0,2 = 1,35

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,35 + 4·0,2 + 9·0,2 = 2,95

Varyans

Var(X) = 2,95 − 1,35² = 1,127

Cevap

Var(X) = 1,127

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 0,5788

X’in yayılımı

μ = 1,6, Var(X) = 1,34, σ_X = 1,158

Doğrusal değişim

σ_Y = |0,5|·1,158 = 0,5788

Cevap

σ_Y = 0,5788

Ortalama ise kayar: E(Y) = 0,5·1,6 + 10 = 10,8.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,02275

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standartlaştırın

z = (117,8 − 105)/6,403 = 2

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Cevap

P = 0,02275

6.Normal dağılım

Cevap: x = 112,6 puan

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

x’e geri dönüş

x = 100 + 0,8416·15 = 112,62 puan

Cevap

x = 112,62 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 2,468 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritik değer

df = 5, t = 2,015

Hata payı

E = 2,015·3/√6 = 2,468

Cevap

E = 2,468 mmHg

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 246

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n'yi çözün

n = 1,96²·0,2·0,8/0,05² = 245,9

Yukarı yuvarlayın

n = 246

Cevap

n = 246

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: p = 0,02642

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Test istatistiği

SE = σ/√n = 3/√36 = 0,5

z = (118,89 − 120)/0,5 = −2,22

Kuyruk alanı

Φ(2,22) = 0,9868

1 − Φ(2,22) = 0,0132

p-değeri

p = 2·0,0132 = 0,02642

Cevap

p = 0,02642

p ≤ 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 201,2

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 2,576·5/√49 = 1,84

Aralık sınırı

U = 199,4 + 1,84 = 201,2

Cevap

U = 201,2

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9811

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 571/6 = 95,17

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 359

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1913

Korelasyon katsayısı

r = 359/√(70·1913) = 0,9811

Cevap

r = 0,9811

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 5,111

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 94/5 = 18,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126

Regresyon doğrusu

b = 126/40 = 3,15

a = 18,8 − 3,15·6 = −0,1

ŷ = −0,1 + 3,15·x

x için çözün

x = (16 − (−0,1))/3,15 = 5,111

Cevap

x = 5,111

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1