İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 38, 55, 52, 10, 12, 49.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 170 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 166'ün altındadır?

μ = 170σ = 8x = 166

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,1, 0,3, 0,3, 0,3

Var(X) =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 2X + 5. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,2, 0,35, 0,1Y = 2X + 5

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 100 ile 112 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 100σ = 15x₁ = 100x₂ = 112

P =

6.Normal dağılımZor

Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,02 mm, standart sapması 0,02 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,01 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

delik: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Güven aralıklarıOrta

11 birimlik bir örneklemin ortalaması 111,5 ve standart sapması s = 9,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 11x̄ = 111,5s = 9,595%t(10) = 2,228

alt sınır =

8.Güven aralıklarıZor

Bir pilot çalışma ürünlerin yaklaşık 0,1 kadarının kusurlu olduğunu gösteriyor. Oran için %95 güven aralığının hata payının en fazla 0,04 olması için kaç ürün n incelenmelidir?

p ≈ 0,1E = 0,0495%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki üretim hattı aynı parçayı üretiyor. Hat 1: 40 parçalık bir örneklemin ortalama uzunluğu 94,5 mm ve hattın bilinen standart sapması 10 mm. Hat 2: 60 parçalık bir örneklemin ortalaması 90,8 mm, bilinen standart sapması 4 mm. Farkı x̄₁ − x̄₂ (hat 1 eksi hat 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği z değerini bulun.

n₁ = 40x̄₁ = 94,5 mmσ₁ = 10 mmn₂ = 60x̄₂ = 90,8 mmσ₂ = 4 mm

z =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 80’a karşı H₁: μ > 80 için tek yönlü bir z testi, 64 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0,01 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 12 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 85,1’tir. II. tip hata olasılığı β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 80μ = 85,1σ = 12n = 64α = 0,01

β = %

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 7 için ŷ tahminini yapın.

n = 6x = 7

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 20,21

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 216/6 = 36

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 2² + 19² + 16² + (−26)² + (−24)² + 13² = 2042

Standart sapma

s = √(2042/5) = 20,21

Cevap

s = 20,21

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,3085

Standartlaştırın

z = −0,5

Standart normal tablo

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 0,3085

Cevap

P = 0,3085

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 0,96

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,1 + 1·0,3 + 2·0,3 + 3·0,3 = 1,8

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,1 + 1·0,3 + 4·0,3 + 9·0,3 = 4,2

Varyans

Var(X) = 4,2 − 1,8² = 0,96

Cevap

Var(X) = 0,96

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 4,118

X’in yayılımı

μ = 2,4, Var(X) = 4,24, σ_X = 2,059

Doğrusal değişim

σ_Y = |2|·2,059 = 4,118

Cevap

σ_Y = 4,118

Ortalama ise kayar: E(Y) = 2·2,4 + 5 = 9,8.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,2881

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (100 − 100)/15 = 0

z₂ = (112 − 100)/15 = 0,8

Aradaki alan

P = Φ(0,8) − Φ(0) = 0,7881 − 0,5 = 0,2881

Cevap

P = 0,2881

6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,8133

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Farkın dağılımı

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm

Standartlaştırın

z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89

Olasılık

P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133

Cevap

P = 0,8133

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 105,1

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 10, t = 2,228

Hata payı

E = 2,228·9,5/√11 = 6,382

Aralık

111,5 ± 6,382 → [105,1, 117,9]

Cevap

alt sınır = 105,1

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 217

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n'yi çözün

n = 1,96²·0,1·0,9/0,04² = 216,1

Yukarı yuvarlayın

n = 217

Cevap

n = 217

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: z = 2,224

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Farkın standart hatası

SE = √(10²/40 + 4²/60) = √2,767 = 1,663

Test istatistiği

z = (94,5 − 90,8)/1,663 = 2,224

Cevap

z = 2,224

|z| > 1,96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: β = 14,14 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 12/√64 = 1,5

x̄_c = 80 + 2,326·1,5 = 83,49

Gerçek ortalama altında z

z = (83,49 − 85,1)/1,5 = −1,074

II. tip hata

güç = P(Z > −1,074) = 85,86%

β = 100% − 85,86% = 14,14%

Cevap

β = 14,14%

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,968

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 283/5 = 56,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 184

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 903,2

Korelasyon katsayısı

r = 184/√(40·903,2) = 0,968

Cevap

r = 0,968

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 68,33

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 410/6 = 68,33

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 248

Regresyon doğrusu

b = 248/70 = 3,543

a = 68,33 − 3,543·7 = 43,53

ŷ = 43,53 + 3,543·x

Tahmin

ŷ = 43,53 + 3,543·7 = 68,33

Cevap

ŷ = 68,33

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1