İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 47, 46, 33, 57, 10.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 70 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 82'ün üstündedir?

μ = 70σ = 8x = 82

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,1, 0,3, 0,25, 0,35

Var(X) =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 5X + 20. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,15, 0,1, 0,3, 0,35Y = 5X + 20

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

X ortalaması 60 s, standart sapması 5 s olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 45 s, standart sapması 4 s olan normaldir. X + Y’nin 111,4 s değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 111,4 s

P =

6.Normal dağılımZor

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %5 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 500 hσ = 40 h5%

x = h

7.Güven aralıklarıOrta

11 birimlik bir örneklemin ortalaması 84,5 ve standart sapması s = 15. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 11x̄ = 84,5s = 1599%t(10) = 3,169

üst sınır =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 24. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 2 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 24E = 295%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

49 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 494,4, örneklem standart sapması 15. H₀: μ = 500 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 500x̄ = 494,4s = 15n = 49

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 2,5 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 12. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.

σ = 12E = 2,590%

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 65 tahmin eder?

n = 6ŷ = 65

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 18,12

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 193/5 = 38,6

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 8,4² + 7,4² + (−5,6)² + 18,4² + (−28,6)² = 1313

Standart sapma

s = √(1313/4) = 18,12

Cevap

s = 18,12

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,06681

Standartlaştırın

z = 1,5

Standart normal tablo

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Cevap

P = 0,06681

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 1,028

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,1 + 1·0,3 + 2·0,25 + 3·0,35 = 1,85

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,1 + 1·0,3 + 4·0,25 + 9·0,35 = 4,45

Varyans

Var(X) = 4,45 − 1,85² = 1,028

Cevap

Var(X) = 1,028

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 6,759

X’in yayılımı

μ = 3,65, Var(X) = 1,828, σ_X = 1,352

Doğrusal değişim

σ_Y = |5|·1,352 = 6,759

Cevap

σ_Y = 6,759

Ortalama ise kayar: E(Y) = 5·3,65 + 20 = 38,25.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,1587

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standartlaştırın

z = (111,4 − 105)/6,403 = 1

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Cevap

P = 0,1587

6.Normal dağılım

Cevap: x = 566 h

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,95

Tablodan z

z ≈ 1,64

Özgün birimlere geri dönüş

x = 500 + 1,64·40 = 566 h

Cevap

x = 566 h

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 98,83

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Hata payı

E = 3,169·15/√11 = 14,33

Aralık

84,5 ± 14,33 → [70,17, 98,83]

Cevap

üst sınır = 98,83

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 554

n'yi çözün

n = (1,96·24/2)² = 553,2

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 554

Cevap

n = 554

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −2,613

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 15/√49 = 15/7 = 2,143

Test istatistiği

t = (494,4 − 500)/2,143 = −2,613

Cevap

t = −2,613

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 63

n'yi çözün

n = (1,645·12/2,5)² = 62,35

Yukarı yuvarlayın

n = 63

Cevap

n = 63

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9922

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 456/5 = 91,2

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 501

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2811

Belirlilik katsayısı

r² = 501²/(90·2811) = 0,9922

Cevap

r² = 0,9922

y’deki değişimin yaklaşık %99,22’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 5,524

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 339/6 = 56,5

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 73,5

Regresyon doğrusu

b = 73,5/17,5 = 4,2

a = 56,5 − 4,2·3,5 = 41,8

ŷ = 41,8 + 4,2·x

x için çözün

x = (65 − 41,8)/4,2 = 5,524

Cevap

x = 5,524

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1