İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama
x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan
sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı
z = (x − μ)/σ
Normal dağılım
68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen
P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normal dağılım

z puanı
z = (x − μ)/σ
x’in altında
P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında
Φ(z2) − Φ(z1)
Yüzdelik
x = μ + z·σ

Yöntem

  1. Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
  2. z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
  3. Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
  4. Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor
x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü
n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

  1. z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
  2. Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
  3. Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
  4. Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ortalama için t testi
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü
|z| > 1,96 ise H0’ı reddet
Güven aralığı
x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

  1. H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
  2. Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
  3. Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
  4. İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim
b = Sxy/Sxx
Kesişim noktası
a = ȳ − b·x̄
Korelasyon
r = Sxy/√(SxxSyy)
Artık
e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta
303540455055

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 26, 49, 36, 59, 35.

n = 5
s =
2.Betimsel istatistikZor
z −2−1012

Bir büyüklük ortalaması 70 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 78'ün altındadır?

μ = 70σ = 20x = 78
P =
3.OlasılıkOrta
xp(x)00,3510,220,2530,2μ = 1,3

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,2, 0,25, 0,2
Var(X) =
4.OlasılıkZor
€p(x)−10,6940,3490,01

Bir oyunu oynamanın bedeli €1. 0,3 olasılıkla €5, 0,01 olasılıkla €50 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €1€5: p = 0,3€50: p = 0,01
E(G) = €
5.Normal dağılımOrta
360 g361,8 gT = X₁ + … + X₉?

cıvatalar kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 40 g, standart sapma 1,2 g. Bunlardan 9 tanesinin toplam kütlesinin 361,8 g değerini aşma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 9> 361,8 g
P =
6.Normal dağılımZor
μ = 65x = ?90%

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %90 olan x değerini bulun (90. yüzdelik).

μ = 65σ = 10P = 90%
x = puan
7.Güven aralıklarıOrta
x̄E₁ = 8,690%, n = 64x̄E₂ = ?99%, n = 576

64 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %90 güven aralığının hata payı 8,6. 576 gözleme dayanan %99 aralığın hata payı E₂ nedir?

90%n₁ = 64E₁ = 8,699%n₂ = 576
E₂ =
8.Güven aralıklarıZor
σ = 15, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2,590%

Anakütle standart sapması 15. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 2,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 15E = 2,590%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
t −1,9901,99

81 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 500,6, örneklem standart sapması 8. H₀: μ = 500 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 500x̄ = 500,6s = 8n = 81
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
z −1,9601,96

25 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 51,1. Anakütle standart sapması 4. Ortalama için %95 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 51,1σ = 4n = 2595%
U =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
xy264126228281034xy510102030

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
xy125226324418518617xy2462025x = 3,5

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 3,5 için ŷ tahminini yapın.

n = 6x = 3,5
ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 12,98

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 205/5 = 41

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−15)² + 8² + (−5)² + 18² + (−6)² = 674

Standart sapma

s = √(674/4) = 12,98

Cevap

s = 12,98
2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,6554

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Standartlaştırın

z = 0,4

Standart normal tablo

Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554

Cevap

P = 0,6554
3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 1,31

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,35 + 1·0,2 + 2·0,25 + 3·0,2 = 1,3

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,2 + 4·0,25 + 9·0,2 = 3

Varyans

Var(X) = 3 − 1,3² = 1,31

Cevap

Var(X) = 1,31
4.Olasılık

Cevap: E(G) = 1 €

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Net sonuçlar

G: 4 (p = 0,3), 49 (p = 0,01), −1 (p = 0,69)

Beklenen değer

E(G) = 4·0,3 + 49·0,01 − 1·0,69 = 1 €

Cevap

E(G) = 1 €

Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,3085

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μT = 360 g, σT = 1,2·√9 = 3,6 g

Standartlaştırın

z = (361,8 − 360)/3,6 = 0,5

Olasılık

P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085

Cevap

P = 0,3085
6.Normal dağılım

Cevap: x = 77,82 puan

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

x’e geri dönüş

x = 65 + 1,282·10 = 77,82 puan

Cevap

x = 77,82 puan
7.Güven aralıkları

Cevap: E₂ = 4,489

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Hata paylarının oranı

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(64/576) = 0,522

Yeni hata payı

E₂ = 8,6·0,522 = 4,489

Cevap

E₂ = 4,489
8.Güven aralıkları

Cevap: n = 98

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,645·15/2,5)² = 97,42

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 98

Cevap

n = 98
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 0,675

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 8/√81 = 8/9 = 0,8889

Test istatistiği

t = (500,6 − 500)/0,8889 = 0,675

Cevap

t = 0,675
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| < 1.99, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 52,67

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 1,96·4/√25 = 1,568

Aralık sınırı

U = 51,1 + 1,568 = 52,67

Cevap

U = 52,67
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9954

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 102/5 = 20,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 144
Syy = Σ(y − ȳ)² = 523,2

Korelasyon katsayısı

r = 144/√(40·523,2) = 0,9954

Cevap

r = 0,9954
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 21,33

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 128/6 = 21,33

Kareler ve çarpımlar toplamları

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35

Regresyon doğrusu

b = −35/17,5 = −2
a = 21,33 − (−2)·3,5 = 28,33
ŷ = 28,33 − 2·x

Tahmin

ŷ = 28,33 + (−2)·3,5 = 21,33

Cevap

ŷ = 21,33

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1