İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 35, 55, 43, 56, 47, 17.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 70 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 40'ün altındadır?

μ = 70σ = 20x = 40

P =

3.OlasılıkOrta

Hilesiz bir zar 4 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?

n = 4

P =

4.OlasılıkZor

Bir testte 12 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,2 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 3 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 12p = 0,2k = 3

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,2090 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,2090

z =

6.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %95 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 178 cmσ = 7 cm95%

x = cm

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 60 telefon, ortalama 40,5 h, bilinen standart sapma 11 h. Model 2: 80 telefon, ortalama 48,5 h, bilinen standart sapma 5 h. μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının alt sınırını bulun.

n₁ = 60x̄₁ = 40,5 hσ₁ = 11 hn₂ = 80x̄₂ = 48,5 hσ₂ = 5 h99%

alt sınır = h

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 19. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 1,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 19E = 1,599%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

12 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark 1,25 ve farkların standart sapması 1,4. H₀: μ_d = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.

n = 12d̄ = 1,25s_d = 1,4

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 3 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 8. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.

σ = 8E = 399%

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (4, 66) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(4, 66)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 14,59

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 253/6 = 42,17

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−7,167)² + 12,83² + 0,8333² + 13,83² + 4,833² + (−25,17)² = 1065

Standart sapma

s = √(1065/5) = 14,59

Cevap

s = 14,59

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,06681

Standartlaştırın

z = −1,5

Standart normal tablo

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

Cevap

P = 0,06681

3.Olasılık

Cevap: P = 0,5177

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tümleyen

P(altı yok) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Cevap

P = 0,5177

4.Olasılık

Cevap: P = 0,2362

Binom formülü

P(X = 3) = 220·0,2³·0,8⁹ = 220·0,008·0,1342 = 0,2362

Cevap

P = 0,2362

5.Normal dağılım

Cevap: z = 0,81

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,2090 = 0,7910

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,7910 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 0,81

Cevap

z = 0,81

6.Normal dağılım

Cevap: x = 189,5 cm

Soldaki alan

Φ(z) = 0,95

Tablodan z

z ≈ 1,64

Özgün birimlere geri dönüş

x = 178 + 1,64·7 = 189,5 cm

Cevap

x = 189,5 cm

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = −11,93 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 40,5 − 48,5 = −8

Standart hata

SE = √(11²/60 + 5²/80) = 1,526

Hata payı

E = 2,576·1,526 = 3,931

Aralık

−8 ± 3,931 → [−11,93, −4,069]

Cevap

alt sınır = −11,93 h

Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 1065

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (2,576·19/1,5)² = 1065

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 1065

Cevap

n = 1065

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 3,093

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ortalama farkın standart hatası

SE = 1,4/√12 = 0,4041

Test istatistiği

t = 1,25/0,4041 = 3,093

Cevap

t = 3,093

df = 11 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,201; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 48

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

n'yi çözün

n = (2,576·8/3)² = 47,19

Yukarı yuvarlayın

n = 48

Cevap

n = 48

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9781

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 62/6 = 10,33

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 100

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 149,3

Korelasyon katsayısı

r = 100/√(70·149,3) = 0,9781

Cevap

r = 0,9781

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 1,55

Ortalamalar

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 377/5 = 75,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 146

Regresyon doğrusu

b = 146/40 = 3,65

a = 75,4 − 3,65·7 = 49,85

ŷ = 49,85 + 3,65·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 49,85 + 3,65·4 = 64,45

Artık

e = 66 − 64,45 = 1,55

Cevap

e = 1,55

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1