İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 32, 53, 56, 12, 28, 45, 60.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 50 ve standart sapması 12 olan normal dağılımlıdır. 44 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 50σ = 12x = 44

z =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,35, 0,25, 0,15

Var(X) =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 5X − 3. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = 5X − 3

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 436 ile 548 h arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 500σ = 40x₁ = 436x₂ = 548

P =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %90 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 65 puanσ = 10 puan90%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

15 birimlik bir örneklemin ortalaması 78,5 ve standart sapması s = 4. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 15x̄ = 78,5s = 499%t(14) = 2,977

E =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 17. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 0,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 17E = 0,595%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

16 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 79,2, örneklem standart sapması 8. H₀: μ = 75 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 75x̄ = 79,2s = 8n = 16

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 2,5 birimlik bir kaymayı %80 güçle saptamalıdır. Standart sapma 22. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,05güç = 80%δ = 2,5σ = 22z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 21,5 için ŷ tahminini yapın.

n = 6x = 21,5

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 17,5

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 286/7 = 40,86

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−8,857)² + 12,14² + 15,14² + (−28,86)² + (−12,86)² + 4,143² + 19,14² = 1837

Standart sapma

s = √(1837/6) = 17,5

Cevap

s = 17,5

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −0,5

Standartlaştırın

z = (44 − 50)/12 = −0,5

Cevap

z = −0,5

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 4,04

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,25 + 2·0,35 + 4·0,25 + 6·0,15 = 2,6

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,25 + 4·0,35 + 16·0,25 + 36·0,15 = 10,8

Varyans

Var(X) = 10,8 − 2,6² = 4,04

Cevap

Var(X) = 4,04

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 4,023

X’in yayılımı

μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Doğrusal değişim

σ_Y = |5|·0,8047 = 4,023

Cevap

σ_Y = 4,023

Ortalama ise kayar: E(Y) = 5·0,95 − 3 = 1,75.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,8301

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (436 − 500)/40 = −1,6

z₂ = (548 − 500)/40 = 1,2

Aradaki alan

P = Φ(1,2) − Φ(−1,6) = 0,8849 − 0,0548 = 0,8301

Cevap

P = 0,8301

6.Normal dağılım

Cevap: x = 52,2 puan

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,1

Tablodan z

z ≈ −1,28

Özgün birimlere geri dönüş

x = 65 − 1,28·10 = 52,2 puan

Cevap

x = 52,2 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 3,075

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 14, t = 2,977

Hata payı

E = 2,977·4/√15 = 3,075

Cevap

E = 3,075

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 4441

n'yi çözün

n = (1,96·17/0,5)² = 4441

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 4441

Cevap

n = 4441

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 2,1

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

Test istatistiği

t = (79,2 − 75)/2 = 2,1

Cevap

t = 2,1

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 479

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((1,645 + 0,842)·22/2,5)² = 479

Yukarı yuvarlayın

n = 479

Cevap

n = 479

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9895

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 119/6 = 19,83

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 195

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 554,8

Korelasyon katsayısı

r = 195/√(70·554,8) = 0,9895

Cevap

r = 0,9895

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 108,8

Ortalamalar

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 750/6 = 125

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 852

Regresyon doğrusu

b = 852/157,5 = 5,41

a = 125 − 5,41·24,5 = −7,533

ŷ = −7,533 + 5,41·x

Tahmin

ŷ = −7,533 + 5,41·21,5 = 108,8

Cevap

ŷ = 108,8

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1