İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 24, 53, 28, 29, 24, 19.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 100 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. 60 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 100σ = 20x = 60

z =

3.OlasılıkOrta

9 kişilik bir gruptan 5 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.

n = 9k = 5

N =

4.OlasılıkZor

6 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,1 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 6p = 0,1

P =

5.Normal dağılımOrta

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 27,5 ile 38 min arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 32σ = 6x₁ = 27,5x₂ = 38

P =

6.Normal dağılımZor

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %20 olan x değerini bulun (20. yüzdelik).

μ = 100σ = 15P = 20%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

6 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması −1,6 ve standart sapması 6,9. Ortalama fark için %95 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 6d̄ = −1,6s_d = 6,995%t(5) = 2,571

E = mmHg

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 17. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 1 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 17E = 190%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

25 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 201,7, örneklem standart sapması 12. H₀: μ = 200 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 200x̄ = 201,7s = 12n = 25

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 100’a karşı H₁: μ < 100 için tek yönlü bir z testi, 64 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.10 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 12 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 95.65’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 100μ = 95,65σ = 12n = 64α = 0,10

1 − β = %

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (3, 15) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(3, 15)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 12,05

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 177/6 = 29,5

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−5,5)² + 23,5² + (−1,5)² + (−0,5)² + (−5,5)² + (−10,5)² = 725,5

Standart sapma

s = √(725,5/5) = 12,05

Cevap

s = 12,05

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −2

Standartlaştırın

z = (60 − 100)/20 = −2

Cevap

z = −2

3.Olasılık

Cevap: N = 126

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasyonlar

C(9, 5) = (9·8·7·6·5)/(5·4·3·2·1) = 126

Cevap

N = 126

4.Olasılık

Cevap: P = 0,8857

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,9⁶ = 0,5314

P(X = 1) = 6·0,1·0,9⁵ = 0,3543

Toplayın

P = 0,5314 + 0,3543 = 0,8857

Cevap

P = 0,8857

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,6147

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (27,5 − 32)/6 = −0,75

z₂ = (38 − 32)/6 = 1

Aradaki alan

P = Φ(1) − Φ(−0,75) = 0,8413 − 0,2266 = 0,6147

Cevap

P = 0,6147

6.Normal dağılım

Cevap: x = 87,38 puan

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

x’e geri dönüş

x = 100 + −0,8416·15 = 87,38 puan

Cevap

x = 87,38 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 7,242 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritik değer

df = 5, t = 2,571

Hata payı

E = 2,571·6,9/√6 = 7,242

Cevap

E = 7,242 mmHg

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 783

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,645·17/1)² = 782

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 783

Cevap

n = 783

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 0,7083

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4

Test istatistiği

t = (201,7 − 200)/2,4 = 0,7083

Cevap

t = 0,7083

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: 1 − β = 94,72 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 12/√64 = 1,5

x̄_c = 100 − 1,282·1,5 = 98,08

Gerçek ortalama altında z

z = (98,08 − 95,65)/1,5 = 1,618

Güç

güç = P(Z < 1.618) = 94.72%

1 − β = 94,72%

Cevap

1 − β = 94,72%

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = −0,9694

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 90/6 = 15

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −49

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 146

Korelasyon katsayısı

r = −49/√(17,5·146) = −0,9694

Cevap

r = −0,9694

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 4,838

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 122/6 = 20,33

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 178

Regresyon doğrusu

b = 178/70 = 2,543

a = 20,33 − 2,543·7 = 2,533

ŷ = 2,533 + 2,543·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 2,533 + 2,543·3 = 10,16

Artık

e = 15 − 10,16 = 4,838

Cevap

e = 4,838

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1