Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 58, 10, 53, 54, 55, 42, 18.
n = 7
s =
2.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 170 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. 165 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 170σ = 10x = 165
z =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,2, 0,15, 0,3
σ =
4.OlasılıkZor
Bir oyunu oynamanın bedeli €2. 0,15 olasılıkla €10, 0,01 olasılıkla €20 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.
bahis = €2€10: p = 0,15€20: p = 0,01
E(G) = €
5.Normal dağılımOrta
yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 167,15 ile 179,4 cm arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 178σ = 7x1 = 167,15x2 = 179,4
P =
6.Normal dağılımZor
Bir gruptaki erkeklerin boyu X ve kadınların boyu Y bağımsız ve normaldir: X’in ortalaması 180 cm, standart sapması 10 cm; Y’nin ortalaması 170 cm, standart sapması 12 cm’dir. X’in Y’den büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.Güven aralıklarıOrta
10 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 4,7 ve standart sapması 0,7. Ortalama fark için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.
n = 10d̄ = 4,7sd = 0,790%t(9) = 1,833
alt sınır = mmHg
8.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 24. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 0,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 24E = 0,599%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
49 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 201,4, örneklem standart sapması 8. H₀: μ = 200 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 200x̄ = 201,4s = 8n = 49
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
100 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 100,2. Anakütle standart sapması 8. Ortalama için %95 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.
x̄ = 100,2σ = 8n = 10095%
L =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 6Σx = 21Σy = 135Σx² = 91Σy² = 3105Σxy = 439
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (4,5, 16) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 5(4,5, 16)
e =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 19,53
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 290/7 = 41,43
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 16,57² + (−31,43)² + 11,57² + 12,57² + 13,57² + 0,5714² + (−23,43)² = 2288
Standart sapma
s = √(2288/6) = 19,53
Cevap
s = 19,53
2.Betimsel istatistik
Cevap: z = −0,5
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (165 − 170)/10 = −0,5
Cevap
z = −0,5
3.Olasılık
Cevap: σ = 1,241
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 0·0,35 + 1·0,2 + 2·0,15 + 3·0,3 = 1,4
Karelerin ortalaması
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,2 + 4·0,15 + 9·0,3 = 3,5
Varyans
Var(X) = 3,5 − 1,4² = 1,54
σ = √1,54 = 1,241
Cevap
σ = 1,241
4.Olasılık
Cevap: E(G) = −0,3 €
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Net sonuçlar
G: 8 (p = 0,15), 18 (p = 0,01), −2 (p = 0,84)
Beklenen değer
E(G) = 8·0,15 + 18·0,01 − 2·0,84 = −0,3 €
Cevap
E(G) = −0,3 €
Negatif bir değer, ortalamada para kaybettiğiniz anlamına gelir.
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,5187
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (167,15 − 178)/7 = −1,55
z₂ = (179,4 − 178)/7 = 0,2
Aradaki alan
P = Φ(0,2) − Φ(−1,55) = 0,5793 − 0,06057 = 0,5187
Cevap
P = 0,5187
6.Normal dağılım
Cevap: P = 0,7389
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Standartlaştırın
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Olasılık
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Cevap
P = 0,7389
7.Güven aralıkları
Cevap: alt sınır = 4,294 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritik değer
df = 9, t = 1,833
Hata payı
E = 1,833·0,7/√10 = 0,4058
Aralık
4,7 ± 0,4058 → [4,294, 5,106]
Cevap
alt sınır = 4,294 mmHg
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 15289
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (2,576·24/0,5)² = 15289
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 15289
Cevap
n = 15289
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 1,225
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143
Test istatistiği
t = (201,4 − 200)/1,143 = 1,225
Cevap
t = 1,225
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: L = 98,63
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Hata payı
E = 1,96·8/√100 = 1,568
Aralık sınırı
L = 100,2 − 1,568 = 98,63
Cevap
L = 98,63
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = −0,9747
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 439 − 21·135/6 = −33,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 3105 − 135²/6 = 67,5
Korelasyon katsayısı
r = −33,5/√(17,5·67,5) = −0,9747
Cevap
r = −0,9747
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = −5,15
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 117/5 = 23,4
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −15
Regresyon doğrusu
b = −15/10 = −1,5
a = 23,4 − (−1,5)·3 = 27,9
ŷ = 27,9 − 1,5·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 27,9 + (−1,5)·4,5 = 21,15
Artık
e = 16 − 21,15 = −5,15
Cevap
e = −5,15
Nokta doğrunun altındadır.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1