İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 15, 39, 42, 14, 44, 39.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 70 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. 62 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 70σ = 10x = 62

z =

3.OlasılıkOrta

Hilesiz bir zar 6 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?

n = 6

P =

4.OlasılıkZor

Bir testte 6 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,25 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 4 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 6p = 0,25k = 4

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,9357 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,9357

z =

6.Normal dağılımZor

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %15 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 500 hσ = 40 h15%

x = h

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 30 telefon, ortalama 87 h, bilinen standart sapma 9 h. Model 2: 40 telefon, ortalama 101,5 h, bilinen standart sapma 15 h. μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.

n₁ = 30x̄₁ = 87 hσ₁ = 9 hn₂ = 40x̄₂ = 101,5 hσ₂ = 15 h95%

üst sınır = h

8.Güven aralıklarıZor

Kusurlu ürünlerin oranı hakkında önceden hiçbir şey bilinmiyor. Oran için %90 güven aralığının hata payının en fazla 0,04 olması için kaç ürün n incelenmelidir?

p = 0,5E = 0,0490%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki üretim hattı aynı parçayı üretiyor. Hat 1: 100 parçalık bir örneklemin ortalama uzunluğu 73,5 mm ve hattın bilinen standart sapması 3 mm. Hat 2: 100 parçalık bir örneklemin ortalaması 71,4 mm, bilinen standart sapması 9 mm. Farkı x̄₁ − x̄₂ (hat 1 eksi hat 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği z değerini bulun.

n₁ = 100x̄₁ = 73,5 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 100x̄₂ = 71,4 mmσ₂ = 9 mm

z =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

81 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 43,8. Anakütle standart sapması 20. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.

x̄ = 43,8σ = 20n = 8190%

L =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (3,5, 19) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(3,5, 19)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 13,82

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 193/6 = 32,17

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−17,17)² + 6,833² + 9,833² + (−18,17)² + 11,83² + 6,833² = 954,8

Standart sapma

s = √(954,8/5) = 13,82

Cevap

s = 13,82

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −0,8

Standartlaştırın

z = (62 − 70)/10 = −0,8

Cevap

z = −0,8

3.Olasılık

Cevap: P = 0,6651

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tümleyen

P(altı yok) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Cevap

P = 0,6651

4.Olasılık

Cevap: P = 0,03296

Binom formülü

P(X = 4) = 15·0,25⁴·0,75² = 15·0,003906·0,5625 = 0,03296

Cevap

P = 0,03296

5.Normal dağılım

Cevap: z = 1,85

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,9357)/2 = 0,9678

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,9678 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 1,85

Cevap

z = 1,85

6.Normal dağılım

Cevap: x = 542 h

Soldaki alan

Φ(z) = 0,85

Tablodan z

z ≈ 1,04

Özgün birimlere geri dönüş

x = 500 + 1,04·40 = 542 h

Cevap

x = 542 h

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = −8,845 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 87 − 101,5 = −14,5

Standart hata

SE = √(9²/30 + 15²/40) = 2,885

Hata payı

E = 1,96·2,885 = 5,655

Aralık

−14,5 ± 5,655 → [−20,16, −8,845]

Cevap

üst sınır = −8,845 h

Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 423

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n'yi çözün

n = 1,645²·0,5·0,5/0,04² = 422,8

Yukarı yuvarlayın

n = 423

Cevap

n = 423

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: z = 2,214

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Farkın standart hatası

SE = √(3²/100 + 9²/100) = √0,9 = 0,9487

Test istatistiği

z = (73,5 − 71,4)/0,9487 = 2,214

Cevap

z = 2,214

|z| > 1,96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: L = 40,14

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 1,645·20/√81 = 3,656

Aralık sınırı

L = 43,8 − 3,656 = 40,14

Cevap

L = 40,14

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9946

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 151/6 = 25,17

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 205

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 606,8

Korelasyon katsayısı

r = 205/√(70·606,8) = 0,9946

Cevap

r = 0,9946

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = −4,167

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 139/6 = 23,17

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36,5

Regresyon doğrusu

b = −36,5/17,5 = −2,086

a = 23,17 − (−2,086)·3,5 = 30,47

ŷ = 30,47 − 2,086·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 30,47 + (−2,086)·3,5 = 23,17

Artık

e = 19 − 23,17 = −4,167

Cevap

e = −4,167

Nokta doğrunun altındadır.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1