İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 44, 46, 46, 54, 53, 58.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 50 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. 56 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 50σ = 15x = 56

z =

3.OlasılıkOrta

9 kişilik bir gruptan 3 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.

n = 9k = 3

N =

4.OlasılıkZor

Bir testte 11 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,3 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 2 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 11p = 0,3k = 2

P =

5.Normal dağılımOrta

kutular kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 12 kg, standart sapma 0,8 kg. Bunlardan 12 tanesinin toplam kütlesinin 145,4 kg değerinin altında kalma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 12< 145.4 kg

P =

6.Normal dağılımZor

Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,05 mm, standart sapması 0,015 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,015 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

delik: μ = 25,05 mm, σ = 0,015 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Güven aralıklarıOrta

9 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 1 ve standart sapması 7,3. Ortalama fark için %90 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 9d̄ = 1s_d = 7,390%t(8) = 1,86

E = mmHg

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 6. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 0,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 6E = 0,595%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

Bir anakütlenin ortalamasının 250 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 32 olduğu biliniyor. 64 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 245,44. H₀: μ = 250’a karşı H₁: μ < 250 test edin. p-değeri p değerini bulun.

μ₀ = 250σ = 32n = 64x̄ = 245,44H₁: μ < μ₀

p =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir denemede A tedavisi alan 80 hastadan 32’i, B tedavisi alan 200 hastadan 62’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.

x₁ = 32n₁ = 80x₂ = 62n₂ = 200

z =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 6

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (22, 106) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(22, 106)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 5,601

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 301/6 = 50,17

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−6,167)² + (−4,167)² + (−4,167)² + 3,833² + 2,833² + 7,833² = 156,8

Standart sapma

s = √(156,8/5) = 5,601

Cevap

s = 5,601

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = 0,4

Standartlaştırın

z = (56 − 50)/15 = 0,4

Cevap

z = 0,4

3.Olasılık

Cevap: N = 84

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasyonlar

C(9, 3) = (9·8·7)/(3·2·1) = 84

Cevap

N = 84

4.Olasılık

Cevap: P = 0,1998

Binom formülü

P(X = 2) = 55·0,3²·0,7⁹ = 55·0,09·0,04035 = 0,1998

Cevap

P = 0,1998

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,695

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ_T = 144 kg, σ_T = 0,8·√12 = 2,771 kg

Standartlaştırın

z = (145,4 − 144)/2,771 = 0,51

Olasılık

P = Φ(0,51) = 0,695

Cevap

P = 0,695

6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,9909

Farkın dağılımı

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02121 mm

Standartlaştırın

z = (0 − 0,05)/0,02121 = −2,36

Olasılık

P = 1 − Φ(−2,36) = 0,9909

Cevap

P = 0,9909

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 4,526 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritik değer

df = 8, t = 1,86

Hata payı

E = 1,86·7,3/√9 = 4,526

Cevap

E = 4,526 mmHg

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 554

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,96·6/0,5)² = 553,2

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 554

Cevap

n = 554

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: p = 0,1271

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Test istatistiği

SE = σ/√n = 32/√64 = 4

z = (245,44 − 250)/4 = −1,14

Kuyruk alanı

Φ(1,14) = 0,8729

1 − Φ(1,14) = 0,1271

p-değeri

p = 0,1271

Cevap

p = 0,1271

p > 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: z = 1,441

Örneklem oranları

p̂₁ = 32/80 = 0,4

p̂₂ = 62/200 = 0,31

p̂ = 94/280 = 0,3357

H₀ altında standart hata

SE = √(0,3357·0,6643·(1/80 + 1/200)) = 0,06247

Test istatistiği

z = (0,4 − 0,31)/0,06247 = 1,441

Cevap

z = 1,441

|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9344

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 126/6 = 21

ȳ = 710/6 = 118,3

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 418

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2671

Belirlilik katsayısı

r² = 418²/(70·2671) = 0,9344

Cevap

r² = 0,9344

y’deki değişimin yaklaşık %93,44’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = −3

Ortalamalar

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 514/5 = 102,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 248

Regresyon doğrusu

b = 248/40 = 6,2

a = 102,8 − 6,2·21 = −27,4

ŷ = −27,4 + 6,2·x

Tahmin edilen değer

ŷ = −27,4 + 6,2·22 = 109

Artık

e = 106 − 109 = −3

Cevap

e = −3

Nokta doğrunun altındadır.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1