İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 27, 11, 40, 27, 33, 11, 10.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 60 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 66'ün üstündedir?

μ = 60σ = 10x = 66

P =

3.OlasılıkOrta

Hilesiz bir zar 5 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?

n = 5

P =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 0,5X + 1. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,35, 0,25, 0,05Y = 0,5X + 1

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,7109 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,7109

z =

6.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %60 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 178 cmσ = 7 cm60%

x = cm

7.Güven aralıklarıOrta

6 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 8,9 ve standart sapması 7,7. Ortalama fark için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 6d̄ = 8,9s_d = 7,795%t(5) = 2,571

alt sınır = mmHg

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 10. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 1,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 10E = 1,590%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

25 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 81,96, örneklem standart sapması 12. H₀: μ = 75 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 75x̄ = 81,96s = 12n = 25

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

100 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 198,2. Anakütle standart sapması 8. Ortalama için %90 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 198,2σ = 8n = 10090%

U =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 41 tahmin eder?

n = 6ŷ = 41

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 12,09

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 159/7 = 22,71

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 4,286² + (−11,71)² + 17,29² + 4,286² + 10,29² + (−11,71)² + (−12,71)² = 877,4

Standart sapma

s = √(877,4/6) = 12,09

Cevap

s = 12,09

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,2743

Standartlaştırın

z = 0,6

Standart normal tablo

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Cevap

P = 0,2743

3.Olasılık

Cevap: P = 0,5981

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tümleyen

P(altı yok) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Cevap

P = 0,5981

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 4,472

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

X’in yayılımı

μ = 20, Var(X) = 80, σ_X = 8,944

Doğrusal değişim

σ_Y = |0,5|·8,944 = 4,472

Cevap

σ_Y = 4,472

Ortalama ise kayar: E(Y) = 0,5·20 + 1 = 11.

5.Normal dağılım

Cevap: z = 1,06

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,7109)/2 = 0,8554

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,8554 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 1,06

Cevap

z = 1,06

6.Normal dağılım

Cevap: x = 176,3 cm

Soldaki alan

Φ(z) = 0,4

Tablodan z

z ≈ −0,25

Özgün birimlere geri dönüş

x = 178 − 0,25·7 = 176,3 cm

Cevap

x = 176,3 cm

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 0,818 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritik değer

df = 5, t = 2,571

Hata payı

E = 2,571·7,7/√6 = 8,082

Aralık

8,9 ± 8,082 → [0,818, 16,98]

Cevap

alt sınır = 0,818 mmHg

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 121

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,645·10/1,5)² = 120,3

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 121

Cevap

n = 121

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 2,9

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4

Test istatistiği

t = (81,96 − 75)/2,4 = 2,9

Cevap

t = 2,9

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 199,5

Hata payı

E = 1,645·8/√100 = 1,316

Aralık sınırı

U = 198,2 + 1,316 = 199,5

Cevap

U = 199,5

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,949

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 135/6 = 22,5

ȳ = 317/6 = 52,83

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 418,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1235

Korelasyon katsayısı

r = 418,5/√(157,5·1235) = 0,949

Cevap

r = 0,949

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 11,07

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 155/6 = 25,83

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 261

Regresyon doğrusu

b = 261/70 = 3,729

a = 25,83 − 3,729·7 = −0,2667

ŷ = −0,2667 + 3,729·x

x için çözün

x = (41 − (−0,2667))/3,729 = 11,07

Cevap

x = 11,07

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1