Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 58, 22, 29, 23, 27, 50.
n = 6
s =
2.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 50 ve standart sapması 12 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 62'ün altındadır?
μ = 50σ = 12x = 62
P =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,05, 0,3, 0,35, 0,3
Var(X) =
4.OlasılıkZor
6 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,6 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?
n = 6p = 0,6
P =
5.Normal dağılımOrta
Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,6915 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.
A = 0,6915
z =
6.Normal dağılımZor
A koşucusunun tur süresi X ve B koşucusunun tur süresi Y bağımsız ve normaldir: X’in ortalaması 52 s, standart sapması 4 s; Y’nin ortalaması 48 s, standart sapması 3 s’dir. X’in Y’den büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.Güven aralıklarıOrta
25 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %95 güven aralığının hata payı 3,3. Aynı verilerden elde edilen %99 aralığın hata payı E₂ nedir?
95%n₁ = 25E₁ = 3,399%
E₂ =
8.Güven aralıklarıZor
İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 7 parsel, ortalama verim 28,5 kg, standart sapma 9,5 kg. Parsel grubu 2: 10 parsel, ortalama 20 kg, standart sapma 3 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının hata payı E değerini bulun.
n₁ = 7x̄₁ = 28,5s₁ = 9,5n₂ = 10x̄₂ = 20s₂ = 390%t(15) = 1,753
E = kg
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
6 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark −10,91 ve farkların standart sapması 9,9. H₀: μd = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.
n = 6d̄ = −10,91sd = 9,9
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
25 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 120,6. Anakütle standart sapması 4. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.
x̄ = 120,6σ = 4n = 2590%
L =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.
n = 6
r² =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 81 tahmin eder?
n = 5ŷ = 81
x =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 15,28
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 209/6 = 34,83
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 23,17² + (−12,83)² + (−5,833)² + (−11,83)² + (−7,833)² + 15,17² = 1167
Standart sapma
s = √(1167/5) = 15,28
Cevap
s = 15,28
2.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,8413
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = 1
Standart normal tablo
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Cevap
P = 0,8413
3.Olasılık
Cevap: Var(X) = 0,79
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 0·0,05 + 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,3 = 1,9
Karelerin ortalaması
E(X²) = 0·0,05 + 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,3 = 4,4
Varyans
Var(X) = 4,4 − 1,9² = 0,79
Cevap
Var(X) = 0,79
4.Olasılık
Cevap: P = 0,04096
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sıfır ve bir arıza
P(X = 0) = 0,46 = 0,004096
P(X = 1) = 6·0,6·0,45 = 0,03686
Toplayın
P = 0,004096 + 0,03686 = 0,04096
Cevap
P = 0,04096
5.Normal dağılım
Cevap: z = −0,5
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
z’nin solundaki alan
Φ(z) = 1 − 0,6915 = 0,3085
z tablosunu tersten okuyun
Tablonun içinde 0,3085 değerini bulun ve z’yi okuyun.
z = −0,50
Cevap
z = −0,50
6.Normal dağılım
Cevap: P = 0,7881
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Standartlaştırın
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Olasılık
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Cevap
P = 0,7881
7.Güven aralıkları
Cevap: E₂ = 4,337
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Hata paylarının oranı
E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(25/25) = 1,314
Yeni hata payı
E₂ = 3,3·1,314 = 4,337
Cevap
E₂ = 4,337
8.Güven aralıkları
Cevap: E = 5,565 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Birleştirilmiş standart sapma
sp² = (6·9,5² + 9·3²)/15 = 41,5
sp = 6,442
Hata payı
E = 1,753·6,442·√(1/7 + 1/10) = 5,565
Cevap
E = 5,565 kg
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = −2,699
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Ortalama farkın standart hatası
SE = 9,9/√6 = 4,042
Test istatistiği
t = −10,91/4,042 = −2,699
Cevap
t = −2,699
df = 5 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,571; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: L = 119,3
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Hata payı
E = 1,645·4/√25 = 1,316
Aralık sınırı
L = 120,6 − 1,316 = 119,3
Cevap
L = 119,3
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r² = 0,9755
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 138/6 = 23
ȳ = 738/6 = 123
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 406
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2414
Belirlilik katsayısı
r² = 406²/(70·2414) = 0,9755
Cevap
r² = 0,9755
y’deki değişimin yaklaşık %97,55’ı doğru tarafından açıklanır.
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: x = 22,16
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 387/5 = 77,4
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124
Regresyon doğrusu
b = 124/40 = 3,1
a = 77,4 − 3,1·21 = 12,3
ŷ = 12,3 + 3,1·x
x için çözün
x = (81 − 12,3)/3,1 = 22,16
Cevap
x = 22,16
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1