İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 21, 58, 50, 45, 15, 58, 18.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 80'ün altındadır?

μ = 100σ = 20x = 80

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,3, 0,2, 0,15, 0,05

Var(X) =

4.OlasılıkZor

Bir oyunu oynamanın bedeli €2. 0,15 olasılıkla €10, 0,05 olasılıkla €40 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €2€10: p = 0,15€40: p = 0,05

E(G) = €

5.Normal dağılımOrta

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 100,75 ile 130,75 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 100σ = 15x₁ = 100,75x₂ = 130,75

P =

6.Normal dağılımZor

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %97,5 olan x değerini bulun (97,5. yüzdelik).

μ = 250σ = 5P = 97,5%

x = g

7.Güven aralıklarıOrta

9 birimlik bir örneklemin ortalaması 58 ve standart sapması s = 4. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 9x̄ = 58s = 495%t(8) = 2,306

üst sınır =

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 8 parsel, ortalama verim 79 kg, standart sapma 6 kg. Parsel grubu 2: 14 parsel, ortalama 80 kg, standart sapma 9 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n₁ = 8x̄₁ = 79s₁ = 6n₂ = 14x̄₂ = 80s₂ = 999%t(20) = 2,845

E = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

16 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 504,5, örneklem standart sapması 15. H₀: μ = 500 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 500x̄ = 504,5s = 15n = 16

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

49 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 503,6. Anakütle standart sapması 15. Ortalama için %95 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.

x̄ = 503,6σ = 15n = 4995%

L =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 66 tahmin eder?

n = 5ŷ = 66

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 19,2

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 265/7 = 37,86

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−16,86)² + 20,14² + 12,14² + 7,143² + (−22,86)² + 20,14² + (−19,86)² = 2211

Standart sapma

s = √(2211/6) = 19,2

Cevap

s = 19,2

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,1587

Standartlaştırın

z = −1

Standart normal tablo

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Cevap

P = 0,1587

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 1,427

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 1·0,3 + 2·0,3 + 3·0,2 + 4·0,15 + 5·0,05 = 2,35

Karelerin ortalaması

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,3 + 9·0,2 + 16·0,15 + 25·0,05 = 6,95

Varyans

Var(X) = 6,95 − 2,35² = 1,427

Cevap

Var(X) = 1,427

4.Olasılık

Cevap: E(G) = 1,5 €

Net sonuçlar

G: 8 (p = 0,15), 38 (p = 0,05), −2 (p = 0,8)

Beklenen değer

E(G) = 8·0,15 + 38·0,05 − 2·0,8 = 1,5 €

Cevap

E(G) = 1,5 €

Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,4599

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (100,75 − 100)/15 = 0,05

z₂ = (130,75 − 100)/15 = 2,05

Aradaki alan

P = Φ(2,05) − Φ(0,05) = 0,9798 − 0,5199 = 0,4599

Cevap

P = 0,4599

6.Normal dağılım

Cevap: x = 259,8 g

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

x’e geri dönüş

x = 250 + 1,96·5 = 259,8 g

Cevap

x = 259,8 g

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 61,07

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 8, t = 2,306

Hata payı

E = 2,306·4/√9 = 3,075

Aralık

58 ± 3,075 → [54,93, 61,07]

Cevap

üst sınır = 61,07

8.Güven aralıkları

Cevap: E = 10,19 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (7·6² + 13·9²)/20 = 65,25

s_p = 8,078

Hata payı

E = 2,845·8,078·√(1/8 + 1/14) = 10,19

Cevap

E = 10,19 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 1,2

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75

Test istatistiği

t = (504,5 − 500)/3,75 = 1,2

Cevap

t = 1,2

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: L = 499,4

Hata payı

E = 1,96·15/√49 = 4,2

Aralık sınırı

L = 503,6 − 4,2 = 499,4

Cevap

L = 499,4

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9366

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 256/5 = 51,2

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 176

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 826,8

Belirlilik katsayısı

r² = 176²/(40·826,8) = 0,9366

Cevap

r² = 0,9366

y’deki değişimin yaklaşık %93,66’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 2,541

Ortalamalar

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 384/5 = 76,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74

Regresyon doğrusu

b = 74/10 = 7,4

a = 76,8 − 7,4·4 = 47,2

ŷ = 47,2 + 7,4·x

x için çözün

x = (66 − 47,2)/7,4 = 2,541

Cevap

x = 2,541

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1