İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 44, 19, 44, 37, 59, 49, 37.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 12 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 90,4'ün altındadır?

μ = 100σ = 12x = 90,4

P =

3.OlasılıkOrta

Hilesiz bir zar 5 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?

n = 5

P =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 5X + 10. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,3, 0,35, 0,1Y = 5X + 10

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 246 ile 252,5 g arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 250σ = 5x₁ = 246x₂ = 252,5

P =

6.Normal dağılımZor

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %15 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 500 hσ = 40 h15%

x = h

7.Güven aralıklarıOrta

20 birimlik bir örneklemin ortalaması 85 ve standart sapması s = 4,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 20x̄ = 85s = 4,599%t(19) = 2,861

alt sınır =

8.Güven aralıklarıZor

İşlenmiş 21 milin çaplarının örneklem standart sapması 7,7 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının alt sınır σ değerini bulun. df = 20 ile χ² dağılımının %2,5’i 9,591 değerinin altında, %2,5’i 34,17 değerinin üstündedir.

n = 21s = 7,7 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

100 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 119,5, örneklem standart sapması 5. H₀: μ = 120 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 120x̄ = 119,5s = 5n = 100

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 200’a karşı H₁: μ < 200 için tek yönlü bir z testi, 100 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.10 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 10 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 197’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 200μ = 197σ = 10n = 100α = 0,10

1 − β = %

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (4,5, 54) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(4,5, 54)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 12,39

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 289/7 = 41,29

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 2,714² + (−22,29)² + 2,714² + (−4,286)² + 17,71² + 7,714² + (−4,286)² = 921,4

Standart sapma

s = √(921,4/6) = 12,39

Cevap

s = 12,39

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,2119

Standartlaştırın

z = −0,8

Standart normal tablo

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Cevap

P = 0,2119

3.Olasılık

Cevap: P = 0,5981

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tümleyen

P(altı yok) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Cevap

P = 0,5981

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 4,77

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

X’in yayılımı

μ = 1,3, Var(X) = 0,91, σ_X = 0,9539

Doğrusal değişim

σ_Y = |5|·0,9539 = 4,77

Cevap

σ_Y = 4,77

Ortalama ise kayar: E(Y) = 5·1,3 + 10 = 16,5.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,4796

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (246 − 250)/5 = −0,8

z₂ = (252,5 − 250)/5 = 0,5

Aradaki alan

P = Φ(0,5) − Φ(−0,8) = 0,6915 − 0,2119 = 0,4796

Cevap

P = 0,4796

6.Normal dağılım

Cevap: x = 542 h

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,85

Tablodan z

z ≈ 1,04

Özgün birimlere geri dönüş

x = 500 + 1,04·40 = 542 h

Cevap

x = 542 h

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 82,12

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 19, t = 2,861

Hata payı

E = 2,861·4,5/√20 = 2,879

Aralık

85 ± 2,879 → [82,12, 87,88]

Cevap

alt sınır = 82,12

8.Güven aralıkları

Cevap: σ = 5,891 µm

Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.

Kareler toplamı

(n − 1)s² = 20·7,7² = 1186

σ² için sınırlar

1186/34,17 = 34,7

1186/9,591 = 123,6

σ için sınır

σ = √34,7 = 5,891 µm

Cevap

σ = 5,891 µm

σ için %95 aralık: [5,891, 11,12] µm.

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −1

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 5/√100 = 5/10 = 0,5

Test istatistiği

t = (119,5 − 120)/0,5 = −1

Cevap

t = −1

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: 1 − β = 95,71 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 10/√100 = 1

x̄_c = 200 − 1,282·1 = 198,7

Gerçek ortalama altında z

z = (198,7 − 197)/1 = 1,718

Güç

güç = P(Z < 1.718) = 95.71%

1 − β = 95,71%

Cevap

1 − β = 95,71%

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9017

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 215/6 = 35,83

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 66,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 310,8

Korelasyon katsayısı

r = 66,5/√(17,5·310,8) = 0,9017

Cevap

r = 0,9017

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 2,167

Ortalamalar

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 311/6 = 51,83

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 86,5

Regresyon doğrusu

b = 86,5/17,5 = 4,943

a = 51,83 − 4,943·4,5 = 29,59

ŷ = 29,59 + 4,943·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 29,59 + 4,943·4,5 = 51,83

Artık

e = 54 − 51,83 = 2,167

Cevap

e = 2,167

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1