İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 49, 51, 56, 14, 28, 22, 48.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 50 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 55'ün üstündedir?

μ = 50σ = 5x = 55

P =

3.OlasılıkOrta

Hilesiz bir zar 8 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?

n = 8

P =

4.OlasılıkZor

Bir oyunu oynamanın bedeli €2. 0,3 olasılıkla €8, 0,02 olasılıkla €20 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €2€8: p = 0,3€20: p = 0,02

E(G) = €

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,9786 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,9786

z =

6.Normal dağılımZor

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %60 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 250 gσ = 5 g60%

x = g

7.Güven aralıklarıOrta

25 birimlik bir örneklemin ortalaması 88,5 ve standart sapması s = 7,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 25x̄ = 88,5s = 7,595%t(24) = 2,064

üst sınır =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 36. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 36E = 590%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

36 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 103, örneklem standart sapması 15. H₀: μ = 100 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 100x̄ = 103s = 15n = 36

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

81 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 497,9. Anakütle standart sapması 12. Ortalama için %99 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.

x̄ = 497,9σ = 12n = 8199%

L =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6Σx = 21Σy = 378Σx² = 91Σy² = 24254Σxy = 1406

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (21, 58) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(21, 58)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 16,56

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 268/7 = 38,29

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 10,71² + 12,71² + 17,71² + (−24,29)² + (−10,29)² + (−16,29)² + 9,714² = 1645

Standart sapma

s = √(1645/6) = 16,56

Cevap

s = 16,56

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,1587

Standartlaştırın

z = 1

Standart normal tablo

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Cevap

P = 0,1587

3.Olasılık

Cevap: P = 0,7674

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tümleyen

P(altı yok) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Cevap

P = 0,7674

4.Olasılık

Cevap: E(G) = 0,8 €

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Net sonuçlar

G: 6 (p = 0,3), 18 (p = 0,02), −2 (p = 0,68)

Beklenen değer

E(G) = 6·0,3 + 18·0,02 − 2·0,68 = 0,8 €

Cevap

E(G) = 0,8 €

Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.

5.Normal dağılım

Cevap: z = 2,3

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,9786)/2 = 0,9893

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,9893 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 2,30

Cevap

z = 2,30

6.Normal dağılım

Cevap: x = 248,8 g

Soldaki alan

Φ(z) = 0,4

Tablodan z

z ≈ −0,25

Özgün birimlere geri dönüş

x = 250 − 0,25·5 = 248,8 g

Cevap

x = 248,8 g

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 91,6

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 24, t = 2,064

Hata payı

E = 2,064·7,5/√25 = 3,096

Aralık

88,5 ± 3,096 → [85,4, 91,6]

Cevap

üst sınır = 91,6

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 141

n'yi çözün

n = (1,645·36/5)² = 140,3

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 141

Cevap

n = 141

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 1,2

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5

Test istatistiği

t = (103 − 100)/2,5 = 1,2

Cevap

t = 1,2

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: L = 494,5

Hata payı

E = 2,576·12/√81 = 3,435

Aralık sınırı

L = 497,9 − 3,435 = 494,5

Cevap

L = 494,5

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9459

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 1406 − 21·378/6 = 83

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 24254 − 378²/6 = 440

Korelasyon katsayısı

r = 83/√(17,5·440) = 0,9459

Cevap

r = 0,9459

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = −3,3

Ortalamalar

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 260/5 = 52

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124

Regresyon doğrusu

b = 124/40 = 3,1

a = 52 − 3,1·18 = −3,8

ŷ = −3,8 + 3,1·x

Tahmin edilen değer

ŷ = −3,8 + 3,1·21 = 61,3

Artık

e = 58 − 61,3 = −3,3

Cevap

e = −3,3

Nokta doğrunun altındadır.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1