İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 17, 45, 25, 52, 45.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 500 ve standart sapması 50 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 550'ün altındadır?

μ = 500σ = 50x = 550

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,25, 0,3, 0,05, 0,15

σ =

4.OlasılıkZor

8 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,25 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 8p = 0,25

P =

5.Normal dağılımOrta

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 482 ile 510 h arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 500σ = 40x₁ = 482x₂ = 510

P =

6.Normal dağılımZor

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %80 olan x değerini bulun (80. yüzdelik).

μ = 32σ = 6P = 80%

x = min

7.Güven aralıklarıOrta

64 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %90 güven aralığının hata payı 3,2. Aynı verilerden elde edilen %95 aralığın hata payı E₂ nedir?

90%n₁ = 64E₁ = 3,295%

E₂ =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 10. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 3 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 10E = 395%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 5 öğrenci, ortalama puan 64,5, standart sapma 2,5. Grup 2: 7 öğrenci, ortalama puan 75,1, standart sapma 7,5. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.

n₁ = 5x̄₁ = 64,5s₁ = 2,5n₂ = 7x̄₂ = 75,1s₂ = 7,5

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

100 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 50,9. Anakütle standart sapması 4. Ortalama için %99 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 50,9σ = 4n = 10099%

U =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (10, 87) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(10, 87)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 14,97

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 184/5 = 36,8

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−19,8)² + 8,2² + (−11,8)² + 15,2² + 8,2² = 896,8

Standart sapma

s = √(896,8/4) = 14,97

Cevap

s = 14,97

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,8413

Standartlaştırın

z = 1

Standart normal tablo

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Cevap

P = 0,8413

3.Olasılık

Cevap: σ = 1,319

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,25 + 1·0,25 + 2·0,3 + 3·0,05 + 4·0,15 = 1,6

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,25 + 4·0,3 + 9·0,05 + 16·0,15 = 4,3

Varyans

Var(X) = 4,3 − 1,6² = 1,74

σ = √1,74 = 1,319

Cevap

σ = 1,319

4.Olasılık

Cevap: P = 0,3671

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,75⁸ = 0,1001

P(X = 1) = 8·0,25·0,75⁷ = 0,267

Toplayın

P = 0,1001 + 0,267 = 0,3671

Cevap

P = 0,3671

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,2724

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (482 − 500)/40 = −0,45

z₂ = (510 − 500)/40 = 0,25

Aradaki alan

P = Φ(0,25) − Φ(−0,45) = 0,5987 − 0,3264 = 0,2724

Cevap

P = 0,2724

6.Normal dağılım

Cevap: x = 37,05 min

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

x’e geri dönüş

x = 32 + 0,8416·6 = 37,05 min

Cevap

x = 37,05 min

7.Güven aralıkları

Cevap: E₂ = 3,813

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Hata paylarının oranı

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(64/64) = 1,191

Yeni hata payı

E₂ = 3,2·1,191 = 3,813

Cevap

E₂ = 3,813

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 43

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,96·10/3)² = 42,68

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 43

Cevap

n = 43

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −3,007

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Birleştirilmiş varyans

s_p² = (4·2,5² + 6·7,5²)/10 = 36,25

s_p = 6,021

Standart hata

SE = 6,021·√(1/5 + 1/7) = 3,525

Test istatistiği

t = (64,5 − 75,1)/3,525 = −3,007

Cevap

t = −3,007

df = 10 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,228; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 51,93

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 2,576·4/√100 = 1,03

Aralık sınırı

U = 50,9 + 1,03 = 51,93

Cevap

U = 51,93

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,8767

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 284/5 = 56,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 48

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 262,8

Belirlilik katsayısı

r² = 48²/(10·262,8) = 0,8767

Cevap

r² = 0,8767

y’deki değişimin yaklaşık %87,67’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = −3,267

Ortalamalar

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 388/6 = 64,67

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 448

Regresyon doğrusu

b = 448/70 = 6,4

a = 64,67 − 6,4·6 = 26,27

ŷ = 26,27 + 6,4·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 26,27 + 6,4·10 = 90,27

Artık

e = 87 − 90,27 = −3,267

Cevap

e = −3,267

Nokta doğrunun altındadır.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1