İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 36, 13, 24, 52, 49.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 500 ve standart sapması 25 olan normal dağılımlıdır. 480 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 500σ = 25x = 480

z =

3.OlasılıkOrta

12 kişilik bir gruptan 2 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.

n = 12k = 2

N =

4.OlasılıkZor

Bir oyunu oynamanın bedeli €10. 0,3 olasılıkla €40, 0,01 olasılıkla €500 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €10€40: p = 0,3€500: p = 0,01

E(G) = €

5.Normal dağılımOrta

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 242 ile 254 g arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 250σ = 5x₁ = 242x₂ = 254

P =

6.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %10 olan x değerini bulun (10. yüzdelik).

μ = 178σ = 7P = 10%

x = cm

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 60 telefon, ortalama 55 h, bilinen standart sapma 18 h. Model 2: 30 telefon, ortalama 68,5 h, bilinen standart sapma 19 h. μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n₁ = 60x̄₁ = 55 hσ₁ = 18 hn₂ = 30x̄₂ = 68,5 hσ₂ = 19 h99%

E = h

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 20. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 2 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 20E = 290%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

16 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark −3,31 ve farkların standart sapması 7,8. H₀: μ_d = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.

n = 16d̄ = −3,31s_d = 7,8

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 2 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 8. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.

σ = 8E = 290%

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6Σx = 141Σy = 754Σx² = 3471Σy² = 100822Σxy = 18691

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (28,5, 69) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(28,5, 69)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 16,51

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 174/5 = 34,8

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 1,2² + (−21,8)² + (−10,8)² + 17,2² + 14,2² = 1091

Standart sapma

s = √(1091/4) = 16,51

Cevap

s = 16,51

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −0,8

Standartlaştırın

z = (480 − 500)/25 = −0,8

Cevap

z = −0,8

3.Olasılık

Cevap: N = 66

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasyonlar

C(12, 2) = (12·11)/(2·1) = 66

Cevap

N = 66

4.Olasılık

Cevap: E(G) = 7 €

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Net sonuçlar

G: 30 (p = 0,3), 490 (p = 0,01), −10 (p = 0,69)

Beklenen değer

E(G) = 30·0,3 + 490·0,01 − 10·0,69 = 7 €

Cevap

E(G) = 7 €

Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,7333

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (242 − 250)/5 = −1,6

z₂ = (254 − 250)/5 = 0,8

Aradaki alan

P = Φ(0,8) − Φ(−1,6) = 0,7881 − 0,0548 = 0,7333

Cevap

P = 0,7333

6.Normal dağılım

Cevap: x = 169 cm

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

x’e geri dönüş

x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm

Cevap

x = 169,03 cm

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 10,76 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 55 − 68,5 = −13,5

Standart hata

SE = √(18²/60 + 19²/30) = 4,175

Hata payı

E = 2,576·4,175 = 10,76

Cevap

E = 10,76 h

Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 271

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,645·20/2)² = 270,6

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 271

Cevap

n = 271

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −1,697

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ortalama farkın standart hatası

SE = 7,8/√16 = 1,95

Test istatistiği

t = −3,31/1,95 = −1,697

Cevap

t = −1,697

df = 15 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,131; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 44

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

n'yi çözün

n = (1,645·8/2)² = 43,3

Yukarı yuvarlayın

n = 44

Cevap

n = 44

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9942

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 18691 − 141·754/6 = 972

S_xx = 3471 − 141²/6 = 157,5

S_yy = 100822 − 754²/6 = 6069

Korelasyon katsayısı

r = 972/√(157,5·6069) = 0,9942

Cevap

r = 0,9942

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = −5,471

Ortalamalar

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 387/6 = 64,5

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 523,5

Regresyon doğrusu

b = 523,5/157,5 = 3,324

a = 64,5 − 3,324·25,5 = −20,26

ŷ = −20,26 + 3,324·x

Tahmin edilen değer

ŷ = −20,26 + 3,324·28,5 = 74,47

Artık

e = 69 − 74,47 = −5,471

Cevap

e = −5,471

Nokta doğrunun altındadır.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1