Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 29, 26, 45, 27, 54, 59, 60.
n = 7
s =
2.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 50 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 43,6'ün üstündedir?
μ = 50σ = 8x = 43,6
P =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,15, 0,3, 0,3
Var(X) =
4.OlasılıkZor
10 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,3 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?
n = 10p = 0,3
P =
5.Normal dağılımOrta
X ortalaması 12 min, standart sapması 1,5 min olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 20 min, standart sapması 2 min olan normaldir. X + Y’nin 29,5 min değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 29,5 min
P =
6.Normal dağılımZor
sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %20 olan x değerini bulun (20. yüzdelik).
μ = 65σ = 10P = 20%
x = puan
7.Güven aralıklarıOrta
21 birimlik bir örneklemin ortalaması 80 ve standart sapması s = 7. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının hata payı E değerini bulun.
n = 21x̄ = 80s = 790%t(20) = 1,725
E =
8.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 31. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 2 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 31E = 295%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
11 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark 12,6 ve farkların standart sapması 11. H₀: μd = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.
n = 11d̄ = 12,6sd = 11
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
25 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 120,6. Anakütle standart sapması 4. Ortalama için %90 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.
x̄ = 120,6σ = 4n = 2590%
U =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (7, 25) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 5(7, 25)
e =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 15,33
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 300/7 = 42,86
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−13,86)² + (−16,86)² + 2,143² + (−15,86)² + 11,14² + 16,14² + 17,14² = 1411
Standart sapma
s = √(1411/6) = 15,33
Cevap
s = 15,33
2.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,7881
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = −0,8
Standart normal tablo
Φ(−0,8) = 0,2119
P = 1 − 0,2119 = 0,7881
Cevap
P = 0,7881
3.Olasılık
Cevap: Var(X) = 1,327
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 1·0,25 + 2·0,15 + 3·0,3 + 4·0,3 = 2,65
Karelerin ortalaması
E(X²) = 1·0,25 + 4·0,15 + 9·0,3 + 16·0,3 = 8,35
Varyans
Var(X) = 8,35 − 2,65² = 1,327
Cevap
Var(X) = 1,327
4.Olasılık
Cevap: P = 0,1493
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sıfır ve bir arıza
P(X = 0) = 0,710 = 0,02825
P(X = 1) = 10·0,3·0,79 = 0,1211
Toplayın
P = 0,02825 + 0,1211 = 0,1493
Cevap
P = 0,1493
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,8413
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Standartlaştırın
z = (29,5 − 32)/2,5 = −1
Üst kuyruk
P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413
Cevap
P = 0,8413
6.Normal dağılım
Cevap: x = 56,58 puan
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
x’e geri dönüş
x = 65 + −0,8416·10 = 56,58 puan
Cevap
x = 56,58 puan
7.Güven aralıkları
Cevap: E = 2,635
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 20, t = 1,725
Hata payı
E = 1,725·7/√21 = 2,635
Cevap
E = 2,635
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 923
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (1,96·31/2)² = 922,9
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 923
Cevap
n = 923
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 3,799
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Ortalama farkın standart hatası
SE = 11/√11 = 3,317
Test istatistiği
t = 12,6/3,317 = 3,799
Cevap
t = 3,799
df = 10 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,228; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: U = 121,9
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Hata payı
E = 1,645·4/√25 = 1,316
Aralık sınırı
U = 120,6 + 1,316 = 121,9
Cevap
U = 121,9
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = −0,9649
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 116/5 = 23,2
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −18
Syy = Σ(y − ȳ)² = 34,8
Korelasyon katsayısı
r = −18/√(10·34,8) = −0,9649
Cevap
r = −0,9649
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = −3
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 122/5 = 24,4
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 144
Regresyon doğrusu
b = 144/40 = 3,6
a = 24,4 − 3,6·6 = 2,8
ŷ = 2,8 + 3,6·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 2,8 + 3,6·7 = 28
Artık
e = 25 − 28 = −3
Cevap
e = −3
Nokta doğrunun altındadır.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1