İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 47, 54, 22, 55, 14.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 500 ve standart sapması 75 olan normal dağılımlıdır. 545 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 500σ = 75x = 545

z =

3.OlasılıkOrta

11 kişilik bir gruptan 4 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.

n = 11k = 4

N =

4.OlasılıkZor

Bir oyunu oynamanın bedeli €1. 0,25 olasılıkla €2, 0,02 olasılıkla €10 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €1€2: p = 0,25€10: p = 0,02

E(G) = €

5.Normal dağılımOrta

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 26 ile 36,8 min arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 32σ = 6x₁ = 26x₂ = 36,8

P =

6.Normal dağılımZor

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %20 olan x değerini bulun (20. yüzdelik).

μ = 32σ = 6P = 20%

x = min

7.Güven aralıklarıOrta

64 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %90 güven aralığının hata payı 2,4. Aynı çalışma bunun yerine 128 gözlem kullanırsa hata payı E₂ ne olur?

90%n₁ = 64E₁ = 2,4n₂ = 128

E₂ =

8.Güven aralıklarıZor

İşlenmiş 15 milin çaplarının örneklem standart sapması 7,8 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının üst sınır σ değerini bulun. df = 14 ile χ² dağılımının %2,5’i 5,629 değerinin altında, %2,5’i 26,119 değerinin üstündedir.

n = 15s = 7,8 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

36 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 48,8, örneklem standart sapması 8. H₀: μ = 50 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 50x̄ = 48,8s = 8n = 36

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 50’a karşı H₁: μ < 50 için tek yönlü bir z testi, 36 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.10 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 9 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 48.05’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 50μ = 48,05σ = 9n = 36α = 0,10

1 − β = %

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 3,5 için ŷ tahminini yapın.

n = 6x = 3,5

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 19,09

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 192/5 = 38,4

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 8,6² + 15,6² + (−16,4)² + 16,6² + (−24,4)² = 1457

Standart sapma

s = √(1457/4) = 19,09

Cevap

s = 19,09

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = 0,6

Standartlaştırın

z = (545 − 500)/75 = 0,6

Cevap

z = 0,6

3.Olasılık

Cevap: N = 330

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasyonlar

C(11, 4) = (11·10·9·8)/(4·3·2·1) = 330

Cevap

N = 330

4.Olasılık

Cevap: E(G) = −0,3 €

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Net sonuçlar

G: 1 (p = 0,25), 9 (p = 0,02), −1 (p = 0,73)

Beklenen değer

E(G) = 1·0,25 + 9·0,02 − 1·0,73 = −0,3 €

Cevap

E(G) = −0,3 €

Negatif bir değer, ortalamada para kaybettiğiniz anlamına gelir.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,6295

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (26 − 32)/6 = −1

z₂ = (36,8 − 32)/6 = 0,8

Aradaki alan

P = Φ(0,8) − Φ(−1) = 0,7881 − 0,1587 = 0,6295

Cevap

P = 0,6295

6.Normal dağılım

Cevap: x = 26,95 min

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

x’e geri dönüş

x = 32 + −0,8416·6 = 26,95 min

Cevap

x = 26,95 min

7.Güven aralıkları

Cevap: E₂ = 1,697

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Hata paylarının oranı

E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(64/128) = 0,7071

Yeni hata payı

E₂ = 2,4·0,7071 = 1,697

Cevap

E₂ = 1,697

8.Güven aralıkları

Cevap: σ = 12,3 µm

Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.

Kareler toplamı

(n − 1)s² = 14·7,8² = 851,8

σ² için sınırlar

851,8/26,119 = 32,61

851,8/5,629 = 151,3

σ için sınır

σ = √151,3 = 12,3 µm

Cevap

σ = 12,3 µm

σ için %95 aralık: [5,711, 12,3] µm.

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −0,9

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333

Test istatistiği

t = (48,8 − 50)/1,333 = −0,9

Cevap

t = −0,9

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: 1 − β = 50,72 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 9/√36 = 1,5

x̄_c = 50 − 1,282·1,5 = 48,08

Gerçek ortalama altında z

z = (48,08 − 48,05)/1,5 = 0,018

Güç

güç = P(Z < 0.018) = 50.72%

1 − β = 50,72%

Cevap

1 − β = 50,72%

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9899

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 480/5 = 96

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 256

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1672

Korelasyon katsayısı

r = 256/√(40·1672) = 0,9899

Cevap

r = 0,9899

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 47,74

Ortalamalar

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 294/6 = 49

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 22

Regresyon doğrusu

b = 22/17,5 = 1,257

a = 49 − 1,257·4,5 = 43,34

ŷ = 43,34 + 1,257·x

Tahmin

ŷ = 43,34 + 1,257·3,5 = 47,74

Cevap

ŷ = 47,74

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1