İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 47, 46, 47, 18, 57, 18, 58.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 60 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 52,5'ün üstündedir?

μ = 60σ = 5x = 52,5

P =

3.OlasılıkOrta

Hilesiz bir zar 8 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?

n = 8

P =

4.OlasılıkZor

Bir testte 12 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,5 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 2 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 12p = 0,5k = 2

P =

5.Normal dağılımOrta

kutular kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 12 kg, standart sapma 0,8 kg. Bunlardan 6 tanesinin toplam kütlesinin 71 kg değerinin altında kalma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 6< 71 kg

P =

6.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %95 olan x değerini bulun (95. yüzdelik).

μ = 178σ = 7P = 95%

x = cm

7.Güven aralıklarıOrta

13 birimlik bir örneklemin ortalaması 24,5 ve standart sapması s = 3,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 13x̄ = 24,5s = 3,590%t(12) = 1,782

E =

8.Güven aralıklarıZor

Bir pilot çalışma ürünlerin yaklaşık 0,6 kadarının kusurlu olduğunu gösteriyor. Oran için %99 güven aralığının hata payının en fazla 0,05 olması için kaç ürün n incelenmelidir?

p ≈ 0,6E = 0,0599%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

25 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 101,9, örneklem standart sapması 8. H₀: μ = 100 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 100x̄ = 101,9s = 8n = 25

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 1 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 12. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.

σ = 12E = 190%

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 110Σy = 557Σx² = 2460Σy² = 62831Σxy = 12416

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 9 için ŷ tahminini yapın.

n = 5x = 9

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 16,82

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 291/7 = 41,57

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 5,429² + 4,429² + 5,429² + (−23,57)² + 15,43² + (−23,57)² + 16,43² = 1698

Standart sapma

s = √(1698/6) = 16,82

Cevap

s = 16,82

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,9332

Standartlaştırın

z = −1,5

Standart normal tablo

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Cevap

P = 0,9332

3.Olasılık

Cevap: P = 0,7674

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tümleyen

P(altı yok) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Cevap

P = 0,7674

4.Olasılık

Cevap: P = 0,01611

Binom formülü

P(X = 2) = 66·0,5²·0,5¹⁰ = 66·0,25·0,0009766 = 0,01611

Cevap

P = 0,01611

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,305

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ_T = 72 kg, σ_T = 0,8·√6 = 1,96 kg

Standartlaştırın

z = (71 − 72)/1,96 = −0,51

Olasılık

P = Φ(−0,51) = 0,305

Cevap

P = 0,305

6.Normal dağılım

Cevap: x = 189,5 cm

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

x’e geri dönüş

x = 178 + 1,645·7 = 189,51 cm

Cevap

x = 189,51 cm

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 1,73

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 12, t = 1,782

Hata payı

E = 1,782·3,5/√13 = 1,73

Cevap

E = 1,73

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 638

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n'yi çözün

n = 2,576²·0,6·0,4/0,05² = 637

Yukarı yuvarlayın

n = 638

Cevap

n = 638

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 1,188

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6

Test istatistiği

t = (101,9 − 100)/1,6 = 1,188

Cevap

t = 1,188

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 390

n'yi çözün

n = (1,645·12/1)² = 389,7

Yukarı yuvarlayın

n = 390

Cevap

n = 390

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9164

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 12416 − 110·557/5 = 162

S_xx = 2460 − 110²/5 = 40

S_yy = 62831 − 557²/5 = 781,2

Korelasyon katsayısı

r = 162/√(40·781,2) = 0,9164

Cevap

r = 0,9164

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 31,55

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 106/5 = 21,2

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 138

Regresyon doğrusu

b = 138/40 = 3,45

a = 21,2 − 3,45·6 = 0,5

ŷ = 0,5 + 3,45·x

Tahmin

ŷ = 0,5 + 3,45·9 = 31,55

Cevap

ŷ = 31,55

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1