İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama
x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan
sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı
z = (x − μ)/σ
Normal dağılım
68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen
P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normal dağılım

z puanı
z = (x − μ)/σ
x’in altında
P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında
Φ(z2) − Φ(z1)
Yüzdelik
x = μ + z·σ

Yöntem

  1. Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
  2. z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
  3. Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
  4. Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor
x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü
n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

  1. z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
  2. Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
  3. Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
  4. Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ortalama için t testi
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü
|z| > 1,96 ise H0’ı reddet
Güven aralığı
x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

  1. H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
  2. Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
  3. Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
  4. İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim
b = Sxy/Sxx
Kesişim noktası
a = ȳ − b·x̄
Korelasyon
r = Sxy/√(SxxSyy)
Artık
e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta
2025303540

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 19, 19, 33, 28, 19, 42.

n = 6
s =
2.Betimsel istatistikZor
z −2−1012

Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 80'ün altındadır?

μ = 100σ = 10x = 80
P =
3.OlasılıkOrta
xp(x)00,310,120,330,0540,25μ = 1,85

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,1, 0,3, 0,05, 0,25
Var(X) =
4.OlasılıkZor
n = 7, p = 0,5: P(X = 1) = ?k01234567

Bir testte 7 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,5 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 1 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 7p = 0,5k = 1
P =
5.Normal dağılımOrta
482534P = ?

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 482 ile 534 h arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 500σ = 40x1 = 482x2 = 534
P =
6.Normal dağılımZor
380420460500540580620hüst 70%

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %70 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 500 hσ = 40 h70%
x = h
7.Güven aralıklarıOrta
μ₁ − μ₂0LU = ?x̄₁ − x̄₂E95%

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 60 telefon, ortalama 66 h, bilinen standart sapma 18 h. Model 2: 60 telefon, ortalama 76 h, bilinen standart sapma 8 h. μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.

n₁ = 60x̄₁ = 66 hσ₁ = 18 hn₂ = 60x̄₂ = 76 hσ₂ = 8 h95%
üst sınır = h
8.Güven aralıklarıZor
σ = 14, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 399%

Anakütle standart sapması 14. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 3 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 14E = 399%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
t −1,98401,984

100 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 500,4, örneklem standart sapması 5. H₀: μ = 500 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 500x̄ = 500,4s = 5n = 100
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 3α = 0,05βσ = 13, güç 90%, n = ?

α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 3 birimlik bir kaymayı %90 güçle saptamalıdır. Standart sapma 13. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,05güç = 90%δ = 3σ = 13zα = 1,645zβ = 1,282
n =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
xy127221323421518618xy2462025

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 6
r² =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
xy2841261682110271231xy510102030x = 7

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 7 için ŷ tahminini yapın.

n = 6x = 7
ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 9,522

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 160/6 = 26,67

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−7,667)² + (−7,667)² + 6,333² + 1,333² + (−7,667)² + 15,33² = 453,3

Standart sapma

s = √(453,3/5) = 9,522

Cevap

s = 9,522
2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,02275

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Standartlaştırın

z = −2

Standart normal tablo

Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275

Cevap

P = 0,02275
3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 2,327

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,3 + 1·0,1 + 2·0,3 + 3·0,05 + 4·0,25 = 1,85

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,1 + 4·0,3 + 9·0,05 + 16·0,25 = 5,75

Varyans

Var(X) = 5,75 − 1,85² = 2,327

Cevap

Var(X) = 2,327
4.Olasılık

Cevap: P = 0,05469

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binom formülü

P(X = 1) = 7·0,51·0,56 = 7·0,5·0,01563 = 0,05469

Cevap

P = 0,05469
5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,476

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (482 − 500)/40 = −0,45
z₂ = (534 − 500)/40 = 0,85

Aradaki alan

P = Φ(0,85) − Φ(−0,45) = 0,8023 − 0,3264 = 0,476

Cevap

P = 0,476
6.Normal dağılım

Cevap: x = 479 h

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,3

Tablodan z

z ≈ −0,52

Özgün birimlere geri dönüş

x = 500 − 0,52·40 = 479 h

Cevap

x = 479 h
7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = −5,016 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 66 − 76 = −10

Standart hata

SE = √(18²/60 + 8²/60) = 2,543

Hata payı

E = 1,96·2,543 = 4,984

Aralık

−10 ± 4,984 → [−14,98, −5,016]

Cevap

üst sınır = −5,016 h

Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 145

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (2,576·14/3)² = 144,5

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 145

Cevap

n = 145
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 0,8

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 5/√100 = 5/10 = 0,5

Test istatistiği

t = (500,4 − 500)/0,5 = 0,8

Cevap

t = 0,8
t0,025; df = 99 = 1,984

|t| < 1.984, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 161

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((1,645 + 1,282)·13/3)² = 160,9

Yukarı yuvarlayın

n = 161

Cevap

n = 161
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,7814

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 128/6 = 21,33

Kareler ve çarpımlar toplamları

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28
Syy = Σ(y − ȳ)² = 57,33

Belirlilik katsayısı

r² = −28²/(17,5·57,33) = 0,7814

Cevap

r² = 0,7814

y’deki değişimin yaklaşık %78,14’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 19,17

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 115/6 = 19,17

Kareler ve çarpımlar toplamları

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 165

Regresyon doğrusu

b = 165/70 = 2,357
a = 19,17 − 2,357·7 = 2,667
ŷ = 2,667 + 2,357·x

Tahmin

ŷ = 2,667 + 2,357·7 = 19,17

Cevap

ŷ = 19,17

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1