Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 49, 49, 16, 42, 58, 34, 46.
n = 7
s =
2.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 50 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 65'ün üstündedir?
μ = 50σ = 10x = 65
P =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,3, 0,2, 0,3
σ =
4.OlasılıkZor
X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 3X + 10. Y’nin standart sapmasını σY bulun.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,15, 0,3, 0,3Y = 3X + 10
σY =
5.Normal dağılımOrta
Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,7017 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.
A = 0,7017
z =
6.Normal dağılımZor
torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %60 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.
μ = 250 gσ = 5 g60%
x = g
7.Güven aralıklarıOrta
İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 30 telefon, ortalama 93,5 h, bilinen standart sapma 18 h. Model 2: 30 telefon, ortalama 99 h, bilinen standart sapma 7 h. μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının üst sınırını bulun.
n₁ = 30x̄₁ = 93,5 hσ₁ = 18 hn₂ = 30x̄₂ = 99 hσ₂ = 7 h99%
üst sınır = h
8.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 17. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 4 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 17E = 490%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
İki üretim hattı aynı parçayı üretiyor. Hat 1: 60 parçalık bir örneklemin ortalama uzunluğu 65 mm ve hattın bilinen standart sapması 7 mm. Hat 2: 50 parçalık bir örneklemin ortalaması 62,8 mm, bilinen standart sapması 18 mm. Farkı x̄₁ − x̄₂ (hat 1 eksi hat 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği z değerini bulun.
n₁ = 60x̄₁ = 65 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 50x̄₂ = 62,8 mmσ₂ = 18 mm
z =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 3 birimlik bir kaymayı %90 güçle saptamalıdır. Standart sapma 27. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.
α = 0,05güç = 90%δ = 3σ = 27zα = 1,645zβ = 1,282
n =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.
n = 5
r² =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 2,5 için ŷ tahminini yapın.
n = 6x = 2,5
ŷ =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 13,6
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 294/7 = 42
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 7² + 7² + (−26)² + 0² + 16² + (−8)² + 4² = 1110
Standart sapma
s = √(1110/6) = 13,6
Cevap
s = 13,6
2.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,06681
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = 1,5
Standart normal tablo
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Cevap
P = 0,06681
3.Olasılık
Cevap: σ = 2,227
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 0·0,2 + 2·0,3 + 4·0,2 + 6·0,3 = 3,2
Karelerin ortalaması
E(X²) = 0·0,2 + 4·0,3 + 16·0,2 + 36·0,3 = 15,2
Varyans
Var(X) = 15,2 − 3,2² = 4,96
σ = √4,96 = 2,227
Cevap
σ = 2,227
4.Olasılık
Cevap: σY = 3,457
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
X’in yayılımı
μ = 1,65, Var(X) = 1,328, σX = 1,152
Doğrusal değişim
σY = |3|·1,152 = 3,457
Cevap
σY = 3,457
Ortalama ise kayar: E(Y) = 3·1,65 + 10 = 14,95.
5.Normal dağılım
Cevap: z = 1,04
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
z’nin solundaki alan
Φ(z) = (1 + 0,7017)/2 = 0,8508
z tablosunu tersten okuyun
Tablonun içinde 0,8508 değerini bulun ve z’yi okuyun.
z = 1,04
Cevap
z = 1,04
6.Normal dağılım
Cevap: x = 248,8 g
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
Soldaki alan
Φ(z) = 0,4
Tablodan z
z ≈ −0,25
Özgün birimlere geri dönüş
x = 250 − 0,25·5 = 248,8 g
Cevap
x = 248,8 g
7.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = 3,583 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nokta tahmini
x̄₁ − x̄₂ = 93,5 − 99 = −5,5
Standart hata
SE = √(18²/30 + 7²/30) = 3,526
Hata payı
E = 2,576·3,526 = 9,083
Aralık
−5,5 ± 9,083 → [−14,58, 3,583]
Cevap
üst sınır = 3,583 h
Aralık 0’ı içeriyor, yani veriler anlamlı bir fark göstermiyor.
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 49
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (1,645·17/4)² = 48,88
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 49
Cevap
n = 49
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = 0,8144
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Farkın standart hatası
SE = √(7²/60 + 18²/50) = √7,297 = 2,701
Test istatistiği
z = (65 − 62,8)/2,701 = 0,8144
Cevap
z = 0,8144
|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: n = 694
Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = ((1,645 + 1,282)·27/3)² = 694
Yukarı yuvarlayın
n = 694
Cevap
n = 694
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r² = 0,9733
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 89/5 = 17,8
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 110
Syy = Σ(y − ȳ)² = 310,8
Belirlilik katsayısı
r² = 110²/(40·310,8) = 0,9733
Cevap
r² = 0,9733
y’deki değişimin yaklaşık %97,33’ı doğru tarafından açıklanır.
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: ŷ = 19,08
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 103/6 = 17,17
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33,5
Regresyon doğrusu
b = −33,5/17,5 = −1,914
a = 17,17 − (−1,914)·3,5 = 23,87
ŷ = 23,87 − 1,914·x
Tahmin
ŷ = 23,87 + (−1,914)·2,5 = 19,08
Cevap
ŷ = 19,08
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1