İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 34, 41, 23, 14, 26, 52, 48.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 170 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 158'ün altındadır?

μ = 170σ = 15x = 158

P =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 6 kırmızı ve 9 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

6 / 9

P =

4.OlasılıkZor

Bir testte 8 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,5 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 3 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 8p = 0,5k = 3

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,9251 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,9251

z =

6.Normal dağılımZor

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %90 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 500 hσ = 40 h90%

x = h

7.Güven aralıklarıOrta

8 birimlik bir örneklemin ortalaması 49,5 ve standart sapması s = 12,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 8x̄ = 49,5s = 12,590%t(7) = 1,895

alt sınır =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 36. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 2,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 36E = 2,595%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki üretim hattı aynı parçayı üretiyor. Hat 1: 40 parçalık bir örneklemin ortalama uzunluğu 122 mm ve hattın bilinen standart sapması 19 mm. Hat 2: 50 parçalık bir örneklemin ortalaması 112,5 mm, bilinen standart sapması 9 mm. Farkı x̄₁ − x̄₂ (hat 1 eksi hat 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği z değerini bulun.

n₁ = 40x̄₁ = 122 mmσ₁ = 19 mmn₂ = 50x̄₂ = 112,5 mmσ₂ = 9 mm

z =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir denemede A tedavisi alan 250 hastadan 138’i, B tedavisi alan 150 hastadan 90’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.

x₁ = 138n₁ = 250x₂ = 90n₂ = 150

z =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 120Σy = 311Σx² = 2970Σy² = 20037Σxy = 7710

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 72 tahmin eder?

n = 5ŷ = 72

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 13,87

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 238/7 = 34

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 0² + 7² + (−11)² + (−20)² + (−8)² + 18² + 14² = 1154

Standart sapma

s = √(1154/6) = 13,87

Cevap

s = 13,87

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,2119

Standartlaştırın

z = −0,8

Standart normal tablo

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Cevap

P = 0,2119

3.Olasılık

Cevap: P = 0,1429

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 6/15 · 5/14 = 30/210 = 0,1429

Cevap

P = 0,1429

4.Olasılık

Cevap: P = 0,2188

Binom formülü

P(X = 3) = 56·0,5³·0,5⁵ = 56·0,125·0,03125 = 0,2188

Cevap

P = 0,2188

5.Normal dağılım

Cevap: z = −1,44

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,9251 = 0,0749

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,0749 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = −1,44

Cevap

z = −1,44

6.Normal dağılım

Cevap: x = 551 h

Soldaki alan

Φ(z) = 0,9

Tablodan z

z ≈ 1,28

Özgün birimlere geri dönüş

x = 500 + 1,28·40 = 551 h

Cevap

x = 551 h

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 41,13

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 7, t = 1,895

Hata payı

E = 1,895·12,5/√8 = 8,375

Aralık

49,5 ± 8,375 → [41,13, 57,87]

Cevap

alt sınır = 41,13

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 797

n'yi çözün

n = (1,96·36/2,5)² = 796,6

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 797

Cevap

n = 797

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: z = 2,912

Hipotez testi: test istatistiği = (tahmin − H₀ altındaki değer)/(H₀ altındaki standart hata). p-değeri, H₀ doğru varsayıldığında en az gözlenen kadar uç bir istatistik elde etme olasılığıdır: tek yönlü H₁ için bir kuyruktaki alan, iki yönlü H₁ için kuyruk alanının iki katı. p ≤ α olduğunda H₀’ı reddedin.

Farkın standart hatası

SE = √(19²/40 + 9²/50) = √10,64 = 3,263

Test istatistiği

z = (122 − 112,5)/3,263 = 2,912

Cevap

z = 2,912

|z| > 1,96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: z = −0,9388

Örneklem oranları

p̂₁ = 138/250 = 0,552

p̂₂ = 90/150 = 0,6

p̂ = 228/400 = 0,57

H₀ altında standart hata

SE = √(0,57·0,43·(1/250 + 1/150)) = 0,05113

Test istatistiği

z = (0,552 − 0,6)/0,05113 = −0,9388

Cevap

z = −0,9388

|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9852

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 7710 − 120·311/5 = 246

S_xx = 2970 − 120²/5 = 90

S_yy = 20037 − 311²/5 = 692,8

Korelasyon katsayısı

r = 246/√(90·692,8) = 0,9852

Cevap

r = 0,9852

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 24,48

Ortalamalar

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 342/5 = 68,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 219

Regresyon doğrusu

b = 219/90 = 2,433

a = 68,4 − 2,433·23 = 12,43

ŷ = 12,43 + 2,433·x

x için çözün

x = (72 − 12,43)/2,433 = 24,48

Cevap

x = 24,48

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1