İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 26, 25, 39, 50, 34, 26, 55.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 170 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 158'ün altındadır?

μ = 170σ = 8x = 158

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

σ =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 2X + 10. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,2, 0,3, 0,2Y = 2X + 10

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 24,8 ile 33,2 min arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 32σ = 6x₁ = 24,8x₂ = 33,2

P =

6.Normal dağılımZor

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %10 olan x değerini bulun (10. yüzdelik).

μ = 500σ = 40P = 10%

x = h

7.Güven aralıklarıOrta

30 birimlik bir örneklemin ortalaması 24 ve standart sapması s = 7,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 30x̄ = 24s = 7,599%t(29) = 2,756

E =

8.Güven aralıklarıZor

Kusurlu ürünlerin oranı hakkında önceden hiçbir şey bilinmiyor. Oran için %99 güven aralığının hata payının en fazla 0,02 olması için kaç ürün n incelenmelidir?

p = 0,5E = 0,0299%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

64 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 503,6, örneklem standart sapması 10. H₀: μ = 500 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 500x̄ = 503,6s = 10n = 64

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 100’a karşı H₁: μ > 100 için tek yönlü bir z testi, 100 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0,01 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 20 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 106’tir. II. tip hata olasılığı β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 100μ = 106σ = 20n = 100α = 0,01

β = %

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 6

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 73 tahmin eder?

n = 5ŷ = 73

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 12,18

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 255/7 = 36,43

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−10,43)² + (−11,43)² + 2,571² + 13,57² + (−2,429)² + (−10,43)² + 18,57² = 889,7

Standart sapma

s = √(889,7/6) = 12,18

Cevap

s = 12,18

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,06681

Standartlaştırın

z = −1,5

Standart normal tablo

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

Cevap

P = 0,06681

3.Olasılık

Cevap: σ = 0,8047

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Varyans

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Cevap

σ = 0,8047

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 2,227

X’in yayılımı

μ = 1,4, Var(X) = 1,24, σ_X = 1,114

Doğrusal değişim

σ_Y = |2|·1,114 = 2,227

Cevap

σ_Y = 2,227

Ortalama ise kayar: E(Y) = 2·1,4 + 10 = 12,8.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,4642

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (24,8 − 32)/6 = −1,2

z₂ = (33,2 − 32)/6 = 0,2

Aradaki alan

P = Φ(0,2) − Φ(−1,2) = 0,5793 − 0,1151 = 0,4642

Cevap

P = 0,4642

6.Normal dağılım

Cevap: x = 448,7 h

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

x’e geri dönüş

x = 500 + −1,282·40 = 448,74 h

Cevap

x = 448,74 h

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 3,774

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 29, t = 2,756

Hata payı

E = 2,756·7,5/√30 = 3,774

Cevap

E = 3,774

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 4148

Bir oran için güven aralığı: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n); burada p̂ = x/n. E hata payına ulaşmak için n ≥ z²·p(1 − p)/E² gerekir, yukarı yuvarlanır; önceden bir tahmin yoksa en büyük n’yi veren p = 0,5’i kullanın.

n'yi çözün

n = 2,576²·0,5·0,5/0,02² = 4147

Yukarı yuvarlayın

n = 4148

Cevap

n = 4148

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 2,88

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25

Test istatistiği

t = (503,6 − 500)/1,25 = 2,88

Cevap

t = 2,88

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: β = 25,02 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 20/√100 = 2

x̄_c = 100 + 2,326·2 = 104,7

Gerçek ortalama altında z

z = (104,7 − 106)/2 = −0,674

II. tip hata

güç = P(Z > −0,674) = 74,98%

β = 100% − 74,98% = 25,02%

Cevap

β = 25,02%

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9305

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 357/6 = 59,5

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 211

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 683,5

Belirlilik katsayısı

r² = 211²/(70·683,5) = 0,9305

Cevap

r² = 0,9305

y’deki değişimin yaklaşık %93,05’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 7

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 338/5 = 67,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 216

Regresyon doğrusu

b = 216/40 = 5,4

a = 67,6 − 5,4·6 = 35,2

ŷ = 35,2 + 5,4·x

x için çözün

x = (73 − 35,2)/5,4 = 7

Cevap

x = 7

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1