İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 55, 46, 52, 58, 56, 10, 15.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 70'ün üstündedir?

μ = 100σ = 15x = 70

P =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 6 kırmızı ve 7 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

6 / 7

P =

4.OlasılıkZor

Bir oyunu oynamanın bedeli €1. 0,15 olasılıkla €3, 0,05 olasılıkla €50 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €1€3: p = 0,15€50: p = 0,05

E(G) = €

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,9861 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,9861

z =

6.Normal dağılımZor

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %15 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 250 gσ = 5 g15%

x = g

7.Güven aralıklarıOrta

10 birimlik bir örneklemin ortalaması 110,5 ve standart sapması s = 19,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 10x̄ = 110,5s = 19,595%t(9) = 2,262

üst sınır =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 28. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 2,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 28E = 2,595%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 6 öğrenci, ortalama puan 43, standart sapma 7,5. Grup 2: 25 öğrenci, ortalama puan 39,1, standart sapma 2,5. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.

n₁ = 6x̄₁ = 43s₁ = 7,5n₂ = 25x̄₂ = 39,1s₂ = 2,5

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 500’a karşı H₁: μ < 500 için tek yönlü bir z testi, 100 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.01 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 20 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 494.4’tir. II. tip hata olasılığı β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 500μ = 494,4σ = 20n = 100α = 0,01

β = %

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 30Σy = 305Σx² = 220Σy² = 19575Σxy = 2026

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (6,5, 61) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(6,5, 61)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 20,37

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 292/7 = 41,71

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 13,29² + 4,286² + 10,29² + 16,29² + 14,29² + (−31,71)² + (−26,71)² = 2489

Standart sapma

s = √(2489/6) = 20,37

Cevap

s = 20,37

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,9772

Standartlaştırın

z = −2

Standart normal tablo

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

Cevap

P = 0,9772

3.Olasılık

Cevap: P = 0,1923

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 6/13 · 5/12 = 30/156 = 0,1923

Cevap

P = 0,1923

4.Olasılık

Cevap: E(G) = 1,95 €

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Net sonuçlar

G: 2 (p = 0,15), 49 (p = 0,05), −1 (p = 0,8)

Beklenen değer

E(G) = 2·0,15 + 49·0,05 − 1·0,8 = 1,95 €

Cevap

E(G) = 1,95 €

Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.

5.Normal dağılım

Cevap: z = −2,2

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,9861 = 0,0139

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,0139 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = −2,20

Cevap

z = −2,20

6.Normal dağılım

Cevap: x = 244,8 g

Soldaki alan

Φ(z) = 0,15

Tablodan z

z ≈ −1,04

Özgün birimlere geri dönüş

x = 250 − 1,04·5 = 244,8 g

Cevap

x = 244,8 g

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 124,4

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 9, t = 2,262

Hata payı

E = 2,262·19,5/√10 = 13,95

Aralık

110,5 ± 13,95 → [96,55, 124,4]

Cevap

üst sınır = 124,4

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 482

n'yi çözün

n = (1,96·28/2,5)² = 481,9

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 482

Cevap

n = 482

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 2,225

Hipotez testi: test istatistiği = (tahmin − H₀ altındaki değer)/(H₀ altındaki standart hata). p-değeri, H₀ doğru varsayıldığında en az gözlenen kadar uç bir istatistik elde etme olasılığıdır: tek yönlü H₁ için bir kuyruktaki alan, iki yönlü H₁ için kuyruk alanının iki katı. p ≤ α olduğunda H₀’ı reddedin.

Birleştirilmiş varyans

s_p² = (5·7,5² + 24·2,5²)/29 = 14,87

s_p = 3,856

Standart hata

SE = 3,856·√(1/6 + 1/25) = 1,753

Test istatistiği

t = (43 − 39,1)/1,753 = 2,225

Cevap

t = 2,225

df = 29 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,045; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: β = 31,77 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 20/√100 = 2

x̄_c = 500 − 2,326·2 = 495,3

Gerçek ortalama altında z

z = (495,3 − 494,4)/2 = 0,474

II. tip hata

güç = P(Z < 0.474) = 68.23%

β = 100% − 68,23% = 31,77%

Cevap

β = 31,77%

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,995

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 2026 − 30·305/5 = 196

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 19575 − 305²/5 = 970

Korelasyon katsayısı

r = 196/√(40·970) = 0,995

Cevap

r = 0,995

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 3,65

Ortalamalar

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 256/5 = 51,2

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 41

Regresyon doğrusu

b = 41/10 = 4,1

a = 51,2 − 4,1·5 = 30,7

ŷ = 30,7 + 4,1·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 30,7 + 4,1·6,5 = 57,35

Artık

e = 61 − 57,35 = 3,65

Cevap

e = 3,65

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1