İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 55, 30, 53, 39, 55, 60, 42.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 70 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 80'ün altındadır?

μ = 70σ = 10x = 80

P =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 3 kırmızı ve 7 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

3 / 7

P =

4.OlasılıkZor

8 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,7 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 8p = 0,7

P =

5.Normal dağılımOrta

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 248,5 ile 255 g arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 250σ = 5x₁ = 248,5x₂ = 255

P =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %97,5 olan x değerini bulun (97,5. yüzdelik).

μ = 65σ = 10P = 97,5%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

7 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 1 ve standart sapması 5,2. Ortalama fark için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 7d̄ = 1s_d = 5,290%t(6) = 1,943

alt sınır = mmHg

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 21. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 21E = 590%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

25 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 204,1, örneklem standart sapması 12. H₀: μ = 200 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 200x̄ = 204,1s = 12n = 25

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 1,5 birimlik bir kaymayı %90 güçle saptamalıdır. Standart sapma 6. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,05güç = 90%δ = 1,5σ = 6z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 30Σy = 90Σx² = 220Σy² = 1882Σxy = 642

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 5,5 için ŷ tahminini yapın.

n = 6x = 5,5

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 10,86

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 334/7 = 47,71

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 7,286² + (−17,71)² + 5,286² + (−8,714)² + 7,286² + 12,29² + (−5,714)² = 707,4

Standart sapma

s = √(707,4/6) = 10,86

Cevap

s = 10,86

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,8413

Standartlaştırın

z = 1

Standart normal tablo

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Cevap

P = 0,8413

3.Olasılık

Cevap: P = 0,06667

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 3/10 · 2/9 = 6/90 = 0,06667

Cevap

P = 0,06667

4.Olasılık

Cevap: P = 0,00129

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,3⁸ = 6,561 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 8·0,7·0,3⁷ = 0,001225

Toplayın

P = 6,561 × 10⁻⁵ + 0,001225 = 0,00129

Cevap

P = 0,00129

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,4593

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (248,5 − 250)/5 = −0,3

z₂ = (255 − 250)/5 = 1

Aradaki alan

P = Φ(1) − Φ(−0,3) = 0,8413 − 0,3821 = 0,4593

Cevap

P = 0,4593

6.Normal dağılım

Cevap: x = 84,6 puan

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

x’e geri dönüş

x = 65 + 1,96·10 = 84,6 puan

Cevap

x = 84,6 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = −2,819 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritik değer

df = 6, t = 1,943

Hata payı

E = 1,943·5,2/√7 = 3,819

Aralık

1 ± 3,819 → [−2,819, 4,819]

Cevap

alt sınır = −2,819 mmHg

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 48

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,645·21/5)² = 47,73

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 48

Cevap

n = 48

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 1,708

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4

Test istatistiği

t = (204,1 − 200)/2,4 = 1,708

Cevap

t = 1,708

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 138

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((1,645 + 1,282)·6/1,5)² = 137,1

Yukarı yuvarlayın

n = 138

Cevap

n = 138

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9964

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 642 − 30·90/5 = 102

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 1882 − 90²/5 = 262

Korelasyon katsayısı

r = 102/√(40·262) = 0,9964

Cevap

r = 0,9964

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 12,99

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 105/6 = 17,5

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −39,5

Regresyon doğrusu

b = −39,5/17,5 = −2,257

a = 17,5 − (−2,257)·3,5 = 25,4

ŷ = 25,4 − 2,257·x

Tahmin

ŷ = 25,4 + (−2,257)·5,5 = 12,99

Cevap

ŷ = 12,99

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1