İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 23, 30, 19, 48, 43, 11, 31.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 70 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. 76 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 70σ = 10x = 76

z =

3.OlasılıkOrta

7 kişilik bir gruptan 5 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.

n = 7k = 5

N =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = −2X + 10. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,05, 0,35, 0,25Y = −2X + 10

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,0207 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,0207

z =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %90 olan x değerini bulun (90. yüzdelik).

μ = 65σ = 10P = 90%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 30 telefon, ortalama 59,5 h, bilinen standart sapma 10 h. Model 2: 80 telefon, ortalama 65,5 h, bilinen standart sapma 4 h. μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.

n₁ = 30x̄₁ = 59,5 hσ₁ = 10 hn₂ = 80x̄₂ = 65,5 hσ₂ = 4 h95%

üst sınır = h

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 6. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 0,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 6E = 0,590%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

Bir anakütlenin ortalamasının 100 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 24 olduğu biliniyor. 144 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 95,64. H₀: μ = 100’a karşı H₁: μ < 100 test edin. p-değeri p değerini bulun.

μ₀ = 100σ = 24n = 144x̄ = 95,64H₁: μ < μ₀

p =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

81 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 49,9. Anakütle standart sapması 8. Ortalama için %95 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 49,9σ = 8n = 8195%

U =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 6

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 18,5 için ŷ tahminini yapın.

n = 5x = 18,5

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 13,05

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 205/7 = 29,29

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−6,286)² + 0,7143² + (−10,29)² + 18,71² + 13,71² + (−18,29)² + 1,714² = 1021

Standart sapma

s = √(1021/6) = 13,05

Cevap

s = 13,05

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = 0,6

Standartlaştırın

z = (76 − 70)/10 = 0,6

Cevap

z = 0,6

3.Olasılık

Cevap: N = 21

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasyonlar

C(7, 5) = (7·6·5·4·3)/(5·4·3·2·1) = 21

Cevap

N = 21

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 24,08

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

X’in yayılımı

μ = 25, Var(X) = 145, σ_X = 12,04

Doğrusal değişim

σ_Y = |−2|·12,04 = 24,08

Cevap

σ_Y = 24,08

Ortalama ise kayar: E(Y) = −2·25 + 10 = −40.

5.Normal dağılım

Cevap: z = 2,04

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,0207 = 0,9793

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,9793 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 2,04

Cevap

z = 2,04

6.Normal dağılım

Cevap: x = 77,82 puan

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

x’e geri dönüş

x = 65 + 1,282·10 = 77,82 puan

Cevap

x = 77,82 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = −2,316 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 59,5 − 65,5 = −6

Standart hata

SE = √(10²/30 + 4²/80) = 1,88

Hata payı

E = 1,96·1,88 = 3,684

Aralık

−6 ± 3,684 → [−9,684, −2,316]

Cevap

üst sınır = −2,316 h

Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 390

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,645·6/0,5)² = 389,7

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 390

Cevap

n = 390

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: p = 0,01463

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Test istatistiği

SE = σ/√n = 24/√144 = 2

z = (95,64 − 100)/2 = −2,18

Kuyruk alanı

Φ(2,18) = 0,9854

1 − Φ(2,18) = 0,0146

p-değeri

p = 0,01463

Cevap

p = 0,01463

p ≤ 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 51,64

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 1,96·8/√81 = 1,742

Aralık sınırı

U = 49,9 + 1,742 = 51,64

Cevap

U = 51,64

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9761

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 357/6 = 59,5

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 287

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1206

Belirlilik katsayısı

r² = 287²/(70·1206) = 0,9761

Cevap

r² = 0,9761

y’deki değişimin yaklaşık %97,61’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 54

Ortalamalar

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 289/5 = 57,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 228

Regresyon doğrusu

b = 228/90 = 2,533

a = 57,8 − 2,533·20 = 7,133

ŷ = 7,133 + 2,533·x

Tahmin

ŷ = 7,133 + 2,533·18,5 = 54

Cevap

ŷ = 54

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1