İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 56, 49, 57, 21, 19.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 70 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 82'ün üstündedir?

μ = 70σ = 20x = 82

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

Var(X) =

4.OlasılıkZor

Bir testte 10 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,2 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 2 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 10p = 0,2k = 2

P =

5.Normal dağılımOrta

çimento torbaları kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 25 kg, standart sapma 0,5 kg. Bunlardan 5 tanesinin toplam kütlesinin 126,7 kg değerini aşma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 5> 126,7 kg

P =

6.Normal dağılımZor

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %15 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 100 puanσ = 15 puan15%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 80 telefon, ortalama 117,5 h, bilinen standart sapma 19 h. Model 2: 40 telefon, ortalama 111,5 h, bilinen standart sapma 11 h. μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.

n₁ = 80x̄₁ = 117,5 hσ₁ = 19 hn₂ = 40x̄₂ = 111,5 hσ₂ = 11 h90%

alt sınır = h

8.Güven aralıklarıZor

Bir pilot çalışma ürünlerin yaklaşık 0,2 kadarının kusurlu olduğunu gösteriyor. Oran için %90 güven aralığının hata payının en fazla 0,025 olması için kaç ürün n incelenmelidir?

p ≈ 0,2E = 0,02590%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

Bir anakütlenin ortalamasının 80 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 15 olduğu biliniyor. 100 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 76,43. H₀: μ = 80’a karşı H₁: μ < 80 test edin. p-değeri p değerini bulun.

μ₀ = 80σ = 15n = 100x̄ = 76,43H₁: μ < μ₀

p =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

α = 0,01 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 4 birimlik bir kaymayı %90 güçle saptamalıdır. Standart sapma 10. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,01güç = 90%δ = 4σ = 10z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 25Σy = 329Σx² = 135Σy² = 22107Σxy = 1709

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (12, 129) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(12, 129)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 18,89

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 202/5 = 40,4

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 15,6² + 8,6² + 16,6² + (−19,4)² + (−21,4)² = 1427

Standart sapma

s = √(1427/4) = 18,89

Cevap

s = 18,89

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,2743

Standartlaştırın

z = 0,6

Standart normal tablo

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Cevap

P = 0,2743

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 0,7

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Varyans

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

Cevap

Var(X) = 0,7

4.Olasılık

Cevap: P = 0,302

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binom formülü

P(X = 2) = 45·0,2²·0,8⁸ = 45·0,04·0,1678 = 0,302

Cevap

P = 0,302

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,06426

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ_T = 125 kg, σ_T = 0,5·√5 = 1,118 kg

Standartlaştırın

z = (126,7 − 125)/1,118 = 1,52

Olasılık

P = 1 − Φ(1,52) = 0,06426

Cevap

P = 0,06426

6.Normal dağılım

Cevap: x = 115,6 puan

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,85

Tablodan z

z ≈ 1,04

Özgün birimlere geri dönüş

x = 100 + 1,04·15 = 115,6 puan

Cevap

x = 115,6 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 1,484 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 117,5 − 111,5 = 6

Standart hata

SE = √(19²/80 + 11²/40) = 2,745

Hata payı

E = 1,645·2,745 = 4,516

Aralık

6 ± 4,516 → [1,484, 10,52]

Cevap

alt sınır = 1,484 h

Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 693

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n'yi çözün

n = 1,645²·0,2·0,8/0,025² = 692,7

Yukarı yuvarlayın

n = 693

Cevap

n = 693

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: p = 0,008656

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Test istatistiği

SE = σ/√n = 15/√100 = 1,5

z = (76,43 − 80)/1,5 = −2,38

Kuyruk alanı

Φ(2,38) = 0,9913

1 − Φ(2,38) = 0,0087

p-değeri

p = 0,008656

Cevap

p = 0,008656

p ≤ 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 82

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((2,326 + 1,282)·10/4)² = 81,36

Yukarı yuvarlayın

n = 82

Cevap

n = 82

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9449

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 1709 − 25·329/5 = 64

S_xx = 135 − 25²/5 = 10

S_yy = 22107 − 329²/5 = 458,8

Korelasyon katsayısı

r = 64/√(10·458,8) = 0,9449

Cevap

r = 0,9449

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 2,648

Ortalamalar

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 586/6 = 97,67

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 502

Regresyon doğrusu

b = 502/70 = 7,171

a = 97,67 − 7,171·8 = 40,3

ŷ = 40,3 + 7,171·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 40,3 + 7,171·12 = 126,4

Artık

e = 129 − 126,4 = 2,648

Cevap

e = 2,648

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1