İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 11, 16, 16, 31, 54.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 96'ün altındadır?

μ = 100σ = 5x = 96

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,05, 0,2, 0,25, 0,35

σ =

4.OlasılıkZor

6 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,1 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 6p = 0,1

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,9749 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,9749

z =

6.Normal dağılımZor

Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,03 mm, standart sapması 0,01 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,01 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

delik: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Güven aralıklarıOrta

13 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 7,2 ve standart sapması 1,7. Ortalama fark için %99 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 13d̄ = 7,2s_d = 1,799%t(12) = 3,055

alt sınır = mmHg

8.Güven aralıklarıZor

Bir pilot çalışma ürünlerin yaklaşık 0,1 kadarının kusurlu olduğunu gösteriyor. Oran için %99 güven aralığının hata payının en fazla 0,04 olması için kaç ürün n incelenmelidir?

p ≈ 0,1E = 0,0499%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

36 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 72,42, örneklem standart sapması 5. H₀: μ = 75 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 75x̄ = 72,42s = 5n = 36

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

81 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 119,9. Anakütle standart sapması 10. Ortalama için %99 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 119,9σ = 10n = 8199%

U =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 120Σy = 338Σx² = 2970Σy² = 23780Σxy = 8388

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (6, 63) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(6, 63)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 17,56

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 128/5 = 25,6

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−14,6)² + (−9,6)² + (−9,6)² + 5,4² + 28,4² = 1233

Standart sapma

s = √(1233/4) = 17,56

Cevap

s = 17,56

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,2119

Standartlaştırın

z = −0,8

Standart normal tablo

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Cevap

P = 0,2119

3.Olasılık

Cevap: σ = 1,393

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,15 + 1·0,05 + 2·0,2 + 3·0,25 + 4·0,35 = 2,6

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,05 + 4·0,2 + 9·0,25 + 16·0,35 = 8,7

Varyans

Var(X) = 8,7 − 2,6² = 1,94

σ = √1,94 = 1,393

Cevap

σ = 1,393

4.Olasılık

Cevap: P = 0,8857

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,9⁶ = 0,5314

P(X = 1) = 6·0,1·0,9⁵ = 0,3543

Toplayın

P = 0,5314 + 0,3543 = 0,8857

Cevap

P = 0,8857

5.Normal dağılım

Cevap: z = 2,24

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,9749)/2 = 0,9875

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,9875 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 2,24

Cevap

z = 2,24

6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,983

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Farkın dağılımı

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01414 mm

Standartlaştırın

z = (0 − 0,03)/0,01414 = −2,12

Olasılık

P = 1 − Φ(−2,12) = 0,983

Cevap

P = 0,983

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 5,76 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritik değer

df = 12, t = 3,055

Hata payı

E = 3,055·1,7/√13 = 1,44

Aralık

7,2 ± 1,44 → [5,76, 8,64]

Cevap

alt sınır = 5,76 mmHg

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 374

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n'yi çözün

n = 2,576²·0,1·0,9/0,04² = 373,3

Yukarı yuvarlayın

n = 374

Cevap

n = 374

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −3,096

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333

Test istatistiği

t = (72,42 − 75)/0,8333 = −3,096

Cevap

t = −3,096

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 122,8

Hata payı

E = 2,576·10/√81 = 2,862

Aralık sınırı

U = 119,9 + 2,862 = 122,8

Cevap

U = 122,8

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9534

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 8388 − 120·338/5 = 276

S_xx = 2970 − 120²/5 = 90

S_yy = 23780 − 338²/5 = 931,2

Korelasyon katsayısı

r = 276/√(90·931,2) = 0,9534

Cevap

r = 0,9534

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 2

Ortalamalar

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 366/6 = 61

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 230

Regresyon doğrusu

b = 230/70 = 3,286

a = 61 − 3,286·6 = 41,29

ŷ = 41,29 + 3,286·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 41,29 + 3,286·6 = 61

Artık

e = 63 − 61 = 2

Cevap

e = 2

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1