Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 56, 46, 24, 39, 49, 25, 35.
n = 7
s =
2.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 170 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. 150 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 170σ = 10x = 150
z =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,25, 0,05, 0,35, 0,3
Var(X) =
4.OlasılıkZor
Bir oyunu oynamanın bedeli €5. 0,1 olasılıkla €20, 0,02 olasılıkla €100 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.
bahis = €5€20: p = 0,1€100: p = 0,02
E(G) = €
5.Normal dağılımOrta
Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,1190 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.
A = 0,1190
z =
6.Normal dağılımZor
1. hattan bir ürünün kütlesi X ve 2. hattan olanın kütlesi Y bağımsız ve normaldir: X’in ortalaması 500 g, standart sapması 8 g; Y’nin ortalaması 490 g, standart sapması 6 g’dir. X’in Y’den büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.Güven aralıklarıOrta
İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 50 telefon, ortalama 111 h, bilinen standart sapma 16 h. Model 2: 50 telefon, ortalama 108,5 h, bilinen standart sapma 7 h. μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.
n₁ = 50x̄₁ = 111 hσ₁ = 16 hn₂ = 50x̄₂ = 108,5 hσ₂ = 7 h99%
E = h
8.Güven aralıklarıZor
İşlenmiş 10 milin çaplarının örneklem standart sapması 1,4 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının alt sınır σ değerini bulun. df = 9 ile χ² dağılımının %2,5’i 2,7 değerinin altında, %2,5’i 19,023 değerinin üstündedir.
n = 10s = 1,4 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
İki üretim hattı aynı parçayı üretiyor. Hat 1: 60 parçalık bir örneklemin ortalama uzunluğu 50,5 mm ve hattın bilinen standart sapması 14 mm. Hat 2: 30 parçalık bir örneklemin ortalaması 46,8 mm, bilinen standart sapması 20 mm. Farkı x̄₁ − x̄₂ (hat 1 eksi hat 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği z değerini bulun.
n₁ = 60x̄₁ = 50,5 mmσ₁ = 14 mmn₂ = 30x̄₂ = 46,8 mmσ₂ = 20 mm
z =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
49 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 496,1. Anakütle standart sapması 15. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.
x̄ = 496,1σ = 15n = 4990%
L =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.
n = 6
r² =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 7,5 için ŷ tahminini yapın.
n = 6x = 7,5
ŷ =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 12,08
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 274/7 = 39,14
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 16,86² + 6,857² + (−15,14)² + (−0,1429)² + 9,857² + (−14,14)² + (−4,143)² = 874,9
Standart sapma
s = √(874,9/6) = 12,08
Cevap
s = 12,08
2.Betimsel istatistik
Cevap: z = −2
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (150 − 170)/10 = −2
Cevap
z = −2
3.Olasılık
Cevap: Var(X) = 1,64
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 0·0,05 + 1·0,25 + 2·0,05 + 3·0,35 + 4·0,3 = 2,6
Karelerin ortalaması
E(X²) = 0·0,05 + 1·0,25 + 4·0,05 + 9·0,35 + 16·0,3 = 8,4
Varyans
Var(X) = 8,4 − 2,6² = 1,64
Cevap
Var(X) = 1,64
4.Olasılık
Cevap: E(G) = −1 €
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Net sonuçlar
G: 15 (p = 0,1), 95 (p = 0,02), −5 (p = 0,88)
Beklenen değer
E(G) = 15·0,1 + 95·0,02 − 5·0,88 = −1 €
Cevap
E(G) = −1 €
Negatif bir değer, ortalamada para kaybettiğiniz anlamına gelir.
5.Normal dağılım
Cevap: z = 1,18
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
z’nin solundaki alan
Φ(z) = 1 − 0,1190 = 0,8810
z tablosunu tersten okuyun
Tablonun içinde 0,8810 değerini bulun ve z’yi okuyun.
z = 1,18
Cevap
z = 1,18
6.Normal dağılım
Cevap: P = 0,8413
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standartlaştırın
z = (0 − 10)/10 = −1
Olasılık
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Cevap
P = 0,8413
7.Güven aralıkları
Cevap: E = 6,362 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nokta tahmini
x̄₁ − x̄₂ = 111 − 108,5 = 2,5
Standart hata
SE = √(16²/50 + 7²/50) = 2,47
Hata payı
E = 2,576·2,47 = 6,362
Cevap
E = 6,362 h
Aralık 0’ı içeriyor, yani veriler anlamlı bir fark göstermiyor.
8.Güven aralıkları
Cevap: σ = 0,963 µm
Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.
Kareler toplamı
(n − 1)s² = 9·1,4² = 17,64
σ² için sınırlar
17,64/19,023 = 0,9273
17,64/2,7 = 6,533
σ için sınır
σ = √0,9273 = 0,963 µm
Cevap
σ = 0,963 µm
σ için %95 aralık: [0,963, 2,556] µm.
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = 0,9081
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Farkın standart hatası
SE = √(14²/60 + 20²/30) = √16,6 = 4,074
Test istatistiği
z = (50,5 − 46,8)/4,074 = 0,9081
Cevap
z = 0,9081
|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: L = 492,6
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Hata payı
E = 1,645·15/√49 = 3,525
Aralık sınırı
L = 496,1 − 3,525 = 492,6
Cevap
L = 492,6
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r² = 0,8023
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 376/6 = 62,67
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 68
Syy = Σ(y − ȳ)² = 329,3
Belirlilik katsayısı
r² = 68²/(17,5·329,3) = 0,8023
Cevap
r² = 0,8023
y’deki değişimin yaklaşık %80,23’ı doğru tarafından açıklanır.
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: ŷ = 50,59
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 249/6 = 41,5
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 79,5
Regresyon doğrusu
b = 79,5/17,5 = 4,543
a = 41,5 − 4,543·5,5 = 16,51
ŷ = 16,51 + 4,543·x
Tahmin
ŷ = 16,51 + 4,543·7,5 = 50,59
Cevap
ŷ = 50,59
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1