İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 39, 35, 44, 53, 10, 26, 23.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 70 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 100'ün üstündedir?

μ = 70σ = 15x = 100

P =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 7 kırmızı ve 5 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

7 / 5

P =

4.OlasılıkZor

Bir oyunu oynamanın bedeli €5. 0,15 olasılıkla €25, 0,01 olasılıkla €50 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €5€25: p = 0,15€50: p = 0,01

E(G) = €

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,7243 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,7243

z =

6.Normal dağılımZor

Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,03 mm, standart sapması 0,02 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,01 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

delik: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

7.Güven aralıklarıOrta

11 birimlik bir örneklemin ortalaması 72,5 ve standart sapması s = 18. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 11x̄ = 72,5s = 1899%t(10) = 3,169

alt sınır =

8.Güven aralıklarıZor

Kusurlu ürünlerin oranı hakkında önceden hiçbir şey bilinmiyor. Oran için %95 güven aralığının hata payının en fazla 0,025 olması için kaç ürün n incelenmelidir?

p = 0,5E = 0,02595%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 8 öğrenci, ortalama puan 50, standart sapma 4,5. Grup 2: 13 öğrenci, ortalama puan 47,1, standart sapma 7,5. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.

n₁ = 8x̄₁ = 50s₁ = 4,5n₂ = 13x̄₂ = 47,1s₂ = 7,5

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 2,5 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 15. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.

σ = 15E = 2,590%

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 6

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (7, 23) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(7, 23)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 14,37

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 230/7 = 32,86

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 6,143² + 2,143² + 11,14² + 20,14² + (−22,86)² + (−6,857)² + (−9,857)² = 1239

Standart sapma

s = √(1239/6) = 14,37

Cevap

s = 14,37

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,02275

Standartlaştırın

z = 2

Standart normal tablo

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Cevap

P = 0,02275

3.Olasılık

Cevap: P = 0,3182

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 7/12 · 6/11 = 42/132 = 0,3182

Cevap

P = 0,3182

4.Olasılık

Cevap: E(G) = −0,75 €

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Net sonuçlar

G: 20 (p = 0,15), 45 (p = 0,01), −5 (p = 0,84)

Beklenen değer

E(G) = 20·0,15 + 45·0,01 − 5·0,84 = −0,75 €

Cevap

E(G) = −0,75 €

Negatif bir değer, ortalamada para kaybettiğiniz anlamına gelir.

5.Normal dağılım

Cevap: z = 1,09

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,7243)/2 = 0,8621

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,8621 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 1,09

Cevap

z = 1,09

6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,9099

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Farkın dağılımı

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02236 mm

Standartlaştırın

z = (0 − 0,03)/0,02236 = −1,34

Olasılık

P = 1 − Φ(−1,34) = 0,9099

Cevap

P = 0,9099

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 55,3

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Hata payı

E = 3,169·18/√11 = 17,2

Aralık

72,5 ± 17,2 → [55,3, 89,7]

Cevap

alt sınır = 55,3

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 1537

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

n'yi çözün

n = 1,96²·0,5·0,5/0,025² = 1537

Yukarı yuvarlayın

n = 1537

Cevap

n = 1537

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 0,9843

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Birleştirilmiş varyans

s_p² = (7·4,5² + 12·7,5²)/19 = 42,99

s_p = 6,556

Standart hata

SE = 6,556·√(1/8 + 1/13) = 2,946

Test istatistiği

t = (50 − 47,1)/2,946 = 0,9843

Cevap

t = 0,9843

df = 19 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,093; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 98

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

n'yi çözün

n = (1,645·15/2,5)² = 97,42

Yukarı yuvarlayın

n = 98

Cevap

n = 98

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,971

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 579/6 = 96,5

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 799,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 4180

Belirlilik katsayısı

r² = 799,5²/(157,5·4180) = 0,971

Cevap

r² = 0,971

y’deki değişimin yaklaşık %97,1’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 3,05

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 84/5 = 16,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126

Regresyon doğrusu

b = 126/40 = 3,15

a = 16,8 − 3,15·6 = −2,1

ŷ = −2,1 + 3,15·x

Tahmin edilen değer

ŷ = −2,1 + 3,15·7 = 19,95

Artık

e = 23 − 19,95 = 3,05

Cevap

e = 3,05

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1