İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 32, 26, 44, 14, 60.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 170 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. 147,5 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 170σ = 15x = 147,5

z =

3.OlasılıkOrta

Hilesiz bir zar 8 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?

n = 8

P =

4.OlasılıkZor

Bir testte 11 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,3 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 5 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 11p = 0,3k = 5

P =

5.Normal dağılımOrta

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 240 ile 251 g arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 250σ = 5x₁ = 240x₂ = 251

P =

6.Normal dağılımZor

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %95 olan x değerini bulun (95. yüzdelik).

μ = 250σ = 5P = 95%

x = g

7.Güven aralıklarıOrta

20 birimlik bir örneklemin ortalaması 24 ve standart sapması s = 12,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 20x̄ = 24s = 12,595%t(19) = 2,093

E =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 36. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 36E = 599%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki üretim hattı aynı parçayı üretiyor. Hat 1: 30 parçalık bir örneklemin ortalama uzunluğu 137 mm ve hattın bilinen standart sapması 9 mm. Hat 2: 80 parçalık bir örneklemin ortalaması 144,8 mm, bilinen standart sapması 17 mm. Farkı x̄₁ − x̄₂ (hat 1 eksi hat 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği z değerini bulun.

n₁ = 30x̄₁ = 137 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 80x̄₂ = 144,8 mmσ₂ = 17 mm

z =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

25 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 118,6. Anakütle standart sapması 10. Ortalama için %99 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.

x̄ = 118,6σ = 10n = 2599%

L =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 11 için ŷ tahminini yapın.

n = 6x = 11

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 17,58

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 176/5 = 35,2

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−3,2)² + (−9,2)² + 8,8² + (−21,2)² + 24,8² = 1237

Standart sapma

s = √(1237/4) = 17,58

Cevap

s = 17,58

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −1,5

Standartlaştırın

z = (147,5 − 170)/15 = −1,5

Cevap

z = −1,5

3.Olasılık

Cevap: P = 0,7674

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tümleyen

P(altı yok) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Cevap

P = 0,7674

4.Olasılık

Cevap: P = 0,1321

Binom formülü

P(X = 5) = 462·0,3⁵·0,7⁶ = 462·0,00243·0,1176 = 0,1321

Cevap

P = 0,1321

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,5565

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (240 − 250)/5 = −2

z₂ = (251 − 250)/5 = 0,2

Aradaki alan

P = Φ(0,2) − Φ(−2) = 0,5793 − 0,02275 = 0,5565

Cevap

P = 0,5565

6.Normal dağılım

Cevap: x = 258,2 g

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

x’e geri dönüş

x = 250 + 1,645·5 = 258,22 g

Cevap

x = 258,22 g

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 5,85

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 19, t = 2,093

Hata payı

E = 2,093·12,5/√20 = 5,85

Cevap

E = 5,85

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 344

n'yi çözün

n = (2,576·36/5)² = 344

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 344

Cevap

n = 344

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: z = −3,105

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Farkın standart hatası

SE = √(9²/30 + 17²/80) = √6,313 = 2,512

Test istatistiği

z = (137 − 144,8)/2,512 = −3,105

Cevap

z = −3,105

|z| > 1,96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: L = 113,4

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 2,576·10/√25 = 5,152

Aralık sınırı

L = 118,6 − 5,152 = 113,4

Cevap

L = 113,4

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,7788

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 333/6 = 55,5

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 36,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 125,5

Korelasyon katsayısı

r = 36,5/√(17,5·125,5) = 0,7788

Cevap

r = 0,7788

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 126,8

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 592/6 = 98,67

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 492

Regresyon doğrusu

b = 492/70 = 7,029

a = 98,67 − 7,029·7 = 49,47

ŷ = 49,47 + 7,029·x

Tahmin

ŷ = 49,47 + 7,029·11 = 126,8

Cevap

ŷ = 126,8

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1