Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 39, 24, 48, 11, 30, 16.
n = 6
s =
2.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 170 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 165'ün üstündedir?
μ = 170σ = 5x = 165
P =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,15, 0,35, 0,25, 0,25
σ =
4.OlasılıkZor
Bir oyunu oynamanın bedeli €1. 0,15 olasılıkla €5, 0,05 olasılıkla €50 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.
bahis = €1€5: p = 0,15€50: p = 0,05
E(G) = €
5.Normal dağılımOrta
teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 20,3 ile 41 min arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 32σ = 6x1 = 20,3x2 = 41
P =
6.Normal dağılımZor
Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,02 mm, standart sapması 0,015 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,02 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
delik: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Güven aralıklarıOrta
36 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %95 güven aralığının hata payı 1,8. Aynı çalışma bunun yerine 72 gözlem kullanırsa hata payı E₂ ne olur?
95%n₁ = 36E₁ = 1,8n₂ = 72
E₂ =
8.Güven aralıklarıZor
İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 16 parsel, ortalama verim 35,5 kg, standart sapma 3 kg. Parsel grubu 2: 6 parsel, ortalama 30,5 kg, standart sapma 6 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.
n₁ = 16x̄₁ = 35,5s₁ = 3n₂ = 6x̄₂ = 30,5s₂ = 690%t(20) = 1,725
üst sınır = kg
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
12 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark −4,32 ve farkların standart sapması 6,8. H₀: μd = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.
n = 12d̄ = −4,32sd = 6,8
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
H₀: μ = 100’a karşı H₁: μ < 100 için tek yönlü bir z testi, 25 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.01 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 5 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 98.1’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.
μ₀ = 100μ = 98,1σ = 5n = 25α = 0,01
1 − β = %
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5Σx = 110Σy = 672Σx² = 2510Σy² = 94142Σxy = 15369
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (19, 112) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 5(19, 112)
e =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 13,96
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 168/6 = 28
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 11² + (−4)² + 20² + (−17)² + 2² + (−12)² = 974
Standart sapma
s = √(974/5) = 13,96
Cevap
s = 13,96
2.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,8413
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = −1
Standart normal tablo
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Cevap
P = 0,8413
3.Olasılık
Cevap: σ = 2,04
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 0·0,15 + 2·0,35 + 4·0,25 + 6·0,25 = 3,2
Karelerin ortalaması
E(X²) = 0·0,15 + 4·0,35 + 16·0,25 + 36·0,25 = 14,4
Varyans
Var(X) = 14,4 − 3,2² = 4,16
σ = √4,16 = 2,04
Cevap
σ = 2,04
4.Olasılık
Cevap: E(G) = 2,25 €
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Net sonuçlar
G: 4 (p = 0,15), 49 (p = 0,05), −1 (p = 0,8)
Beklenen değer
E(G) = 4·0,15 + 49·0,05 − 1·0,8 = 2,25 €
Cevap
E(G) = 2,25 €
Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,9076
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (20,3 − 32)/6 = −1,95
z₂ = (41 − 32)/6 = 1,5
Aradaki alan
P = Φ(1,5) − Φ(−1,95) = 0,9332 − 0,02559 = 0,9076
Cevap
P = 0,9076
6.Normal dağılım
Cevap: P = 0,7881
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,025 mm
Standartlaştırın
z = (0 − 0,02)/0,025 = −0,8
Olasılık
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Cevap
P = 0,7881
7.Güven aralıkları
Cevap: E₂ = 1,273
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Hata paylarının oranı
E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(36/72) = 0,7071
Yeni hata payı
E₂ = 1,8·0,7071 = 1,273
Cevap
E₂ = 1,273
8.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = 8,277 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Birleştirilmiş standart sapma
sp² = (15·3² + 5·6²)/20 = 15,75
sp = 3,969
Hata payı
E = 1,725·3,969·√(1/16 + 1/6) = 3,277
Aralık
5 ± 3,277 → [1,723, 8,277]
Cevap
üst sınır = 8,277 kg
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = −2,201
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Ortalama farkın standart hatası
SE = 6,8/√12 = 1,963
Test istatistiği
t = −4,32/1,963 = −2,201
Cevap
t = −2,201
df = 11 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,201; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: 1 − β = 33,51 %
Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritik örneklem ortalaması
SE = 5/√25 = 1
x̄c = 100 − 2,326·1 = 97,67
Gerçek ortalama altında z
z = (97,67 − 98,1)/1 = −0,426
Güç
güç = P(Z < −0.426) = 33.51%
1 − β = 33,51%
Cevap
1 − β = 33,51%
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,997
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 15369 − 110·672/5 = 585
Sxx = 2510 − 110²/5 = 90
Syy = 94142 − 672²/5 = 3825
Korelasyon katsayısı
r = 585/√(90·3825) = 0,997
Cevap
r = 0,997
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = 5
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 598/5 = 119,6
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 168
Regresyon doğrusu
b = 168/40 = 4,2
a = 119,6 − 4,2·22 = 27,2
ŷ = 27,2 + 4,2·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 27,2 + 4,2·19 = 107
Artık
e = 112 − 107 = 5
Cevap
e = 5
Nokta doğrunun üstündedir.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1