İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 48, 29, 30, 34, 22, 15, 21.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 170 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 182'ün üstündedir?

μ = 170σ = 20x = 182

P =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 6 kırmızı ve 4 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

6 / 4

P =

4.OlasılıkZor

Bir testte 7 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,6 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 3 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 7p = 0,6k = 3

P =

5.Normal dağılımOrta

X ortalaması 60 s, standart sapması 5 s olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 45 s, standart sapması 4 s olan normaldir. X + Y’nin 114,6 s değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 114,6 s

P =

6.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %25 olan x değerini bulun (25. yüzdelik).

μ = 178σ = 7P = 25%

x = cm

7.Güven aralıklarıOrta

16 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 9,1 ve standart sapması 7,7. Ortalama fark için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 16d̄ = 9,1s_d = 7,790%t(15) = 1,753

alt sınır = mmHg

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 8 parsel, ortalama verim 75,5 kg, standart sapma 3,5 kg. Parsel grubu 2: 6 parsel, ortalama 74 kg, standart sapma 1 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n₁ = 8x̄₁ = 75,5s₁ = 3,5n₂ = 6x̄₂ = 74s₂ = 195%t(12) = 2,179

E = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 16 öğrenci, ortalama puan 111, standart sapma 6. Grup 2: 6 öğrenci, ortalama puan 100, standart sapma 10. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.

n₁ = 16x̄₁ = 111s₁ = 6n₂ = 6x̄₂ = 100s₂ = 10

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

α = 0,01 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 1 birimlik bir kaymayı %80 güçle saptamalıdır. Standart sapma 7. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,01güç = 80%δ = 1σ = 7z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 4,5 için ŷ tahminini yapın.

n = 5x = 4,5

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 10,75

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 199/7 = 28,43

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 19,57² + 0,5714² + 1,571² + 5,571² + (−6,429)² + (−13,43)² + (−7,429)² = 693,7

Standart sapma

s = √(693,7/6) = 10,75

Cevap

s = 10,75

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,2743

Standartlaştırın

z = 0,6

Standart normal tablo

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Cevap

P = 0,2743

3.Olasılık

Cevap: P = 0,3333

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 0,3333

Cevap

P = 0,3333

4.Olasılık

Cevap: P = 0,1935

Binom formülü

P(X = 3) = 35·0,6³·0,4⁴ = 35·0,216·0,0256 = 0,1935

Cevap

P = 0,1935

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,06681

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standartlaştırın

z = (114,6 − 105)/6,403 = 1,5

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(1,5) = 1 − 0,9332 = 0,06681

Cevap

P = 0,06681

6.Normal dağılım

Cevap: x = 173,3 cm

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

x’e geri dönüş

x = 178 + −0,6745·7 = 173,28 cm

Cevap

x = 173,28 cm

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 5,725 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritik değer

df = 15, t = 1,753

Hata payı

E = 1,753·7,7/√16 = 3,375

Aralık

9,1 ± 3,375 → [5,725, 12,47]

Cevap

alt sınır = 5,725 mmHg

8.Güven aralıkları

Cevap: E = 3,236 kg

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (7·3,5² + 5·1²)/12 = 7,563

s_p = 2,75

Hata payı

E = 2,179·2,75·√(1/8 + 1/6) = 3,236

Cevap

E = 3,236 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 3,187

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Birleştirilmiş varyans

s_p² = (15·6² + 5·10²)/20 = 52

s_p = 7,211

Standart hata

SE = 7,211·√(1/16 + 1/6) = 3,452

Test istatistiği

t = (111 − 100)/3,452 = 3,187

Cevap

t = 3,187

df = 20 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,086; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 492

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((2,326 + 0,842)·7/1)² = 491,8

Yukarı yuvarlayın

n = 492

Cevap

n = 492

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = −0,8765

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 105/5 = 21

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −13

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 22

Korelasyon katsayısı

r = −13/√(10·22) = −0,8765

Cevap

r = −0,8765

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 78,25

Ortalamalar

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 373/5 = 74,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 73

Regresyon doğrusu

b = 73/10 = 7,3

a = 74,6 − 7,3·4 = 45,4

ŷ = 45,4 + 7,3·x

Tahmin

ŷ = 45,4 + 7,3·4,5 = 78,25

Cevap

ŷ = 78,25

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1