İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 55, 56, 41, 14, 34, 55, 36.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 70 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 54'ün üstündedir?

μ = 70σ = 20x = 54

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,2, 0,25, 0,25

σ =

4.OlasılıkZor

11 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,1 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 11p = 0,1

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,6879 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,6879

z =

6.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %20 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 178 cmσ = 7 cm20%

x = cm

7.Güven aralıklarıOrta

100 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %95 güven aralığının hata payı 10,5. Aynı verilerden elde edilen %99 aralığın hata payı E₂ nedir?

95%n₁ = 100E₁ = 10,599%

E₂ =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 11. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 3 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 11E = 399%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

12 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark 10,91 ve farkların standart sapması 10,8. H₀: μ_d = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.

n = 12d̄ = 10,91s_d = 10,8

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 500’a karşı H₁: μ > 500 için tek yönlü bir z testi, 100 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0,05 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 5 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 501,45’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 500μ = 501,45σ = 5n = 100α = 0,05

1 − β = %

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 2,5 için ŷ tahminini yapın.

n = 6x = 2,5

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 15,37

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 291/7 = 41,57

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 13,43² + 14,43² + (−0,5714)² + (−27,57)² + (−7,571)² + 13,43² + (−5,571)² = 1418

Standart sapma

s = √(1418/6) = 15,37

Cevap

s = 15,37

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,7881

Standartlaştırın

z = −0,8

Standart normal tablo

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Cevap

P = 0,7881

3.Olasılık

Cevap: σ = 1,161

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 1·0,3 + 2·0,2 + 3·0,25 + 4·0,25 = 2,45

Karelerin ortalaması

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,2 + 9·0,25 + 16·0,25 = 7,35

Varyans

Var(X) = 7,35 − 2,45² = 1,347

σ = √1,347 = 1,161

Cevap

σ = 1,161

4.Olasılık

Cevap: P = 0,6974

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,9¹¹ = 0,3138

P(X = 1) = 11·0,1·0,9¹⁰ = 0,3835

Toplayın

P = 0,3138 + 0,3835 = 0,6974

Cevap

P = 0,6974

5.Normal dağılım

Cevap: z = −0,49

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,6879 = 0,3121

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,3121 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = −0,49

Cevap

z = −0,49

6.Normal dağılım

Cevap: x = 183,9 cm

Soldaki alan

Φ(z) = 0,8

Tablodan z

z ≈ 0,84

Özgün birimlere geri dönüş

x = 178 + 0,84·7 = 183,9 cm

Cevap

x = 183,9 cm

7.Güven aralıkları

Cevap: E₂ = 13,8

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Hata paylarının oranı

E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(100/100) = 1,314

Yeni hata payı

E₂ = 10,5·1,314 = 13,8

Cevap

E₂ = 13,8

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 90

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (2,576·11/3)² = 89,21

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 90

Cevap

n = 90

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 3,499

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ortalama farkın standart hatası

SE = 10,8/√12 = 3,118

Test istatistiği

t = 10,91/3,118 = 3,499

Cevap

t = 3,499

df = 11 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,201; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: 1 − β = 89,53 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 5/√100 = 0,5

x̄_c = 500 + 1,645·0,5 = 500,8

Gerçek ortalama altında z

z = (500,8 − 501,45)/0,5 = −1,255

Güç

güç = P(Z > −1,255) = 89,53%

1 − β = 89,53%

Cevap

1 − β = 89,53%

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = −0,9733

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 91/5 = 18,2

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −24

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 60,8

Korelasyon katsayısı

r = −24/√(10·60,8) = −0,9733

Cevap

r = −0,9733

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 24,39

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 134/6 = 22,33

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36

Regresyon doğrusu

b = −36/17,5 = −2,057

a = 22,33 − (−2,057)·3,5 = 29,53

ŷ = 29,53 − 2,057·x

Tahmin

ŷ = 29,53 + (−2,057)·2,5 = 24,39

Cevap

ŷ = 24,39

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1