Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 12, 12, 13, 12, 38, 49, 30.
n = 7
s =
2.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 70 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. 85 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 70σ = 10x = 85
z =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,3, 0,15, 0,15, 0,15
σ =
4.OlasılıkZor
X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 2X + 1. Y’nin standart sapmasını σY bulun.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,3, 0,35, 0,05, 0,05Y = 2X + 1
σY =
5.Normal dağılımOrta
IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 85,75 ile 115 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 100σ = 15x1 = 85,75x2 = 115
P =
6.Normal dağılımZor
1. hattan bir ürünün kütlesi X ve 2. hattan olanın kütlesi Y bağımsız ve normaldir: X’in ortalaması 500 g, standart sapması 8 g; Y’nin ortalaması 490 g, standart sapması 6 g’dir. X’in Y’den büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.Güven aralıklarıOrta
25 birimlik bir örneklemin ortalaması 73 ve standart sapması s = 3. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.
n = 25x̄ = 73s = 395%t(24) = 2,064
üst sınır =
8.Güven aralıklarıZor
İşlenmiş 16 milin çaplarının örneklem standart sapması 3,7 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının üst sınır σ değerini bulun. df = 15 ile χ² dağılımının %2,5’i 6,262 değerinin altında, %2,5’i 27,488 değerinin üstündedir.
n = 16s = 3,7 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
11 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark 1,27 ve farkların standart sapması 2,8. H₀: μd = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.
n = 11d̄ = 1,27sd = 2,8
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
H₀: μ = 80’a karşı H₁: μ < 80 için tek yönlü bir z testi, 25 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.01 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 5 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 77.2’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.
μ₀ = 80μ = 77,2σ = 5n = 25α = 0,01
1 − β = %
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 6Σx = 36Σy = 314Σx² = 286Σy² = 18482Σxy = 2260
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (23, 73) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 5(23, 73)
e =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 15,33
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 166/7 = 23,71
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−11,71)² + (−11,71)² + (−10,71)² + (−11,71)² + 14,29² + 25,29² + 6,286² = 1409
Standart sapma
s = √(1409/6) = 15,33
Cevap
s = 15,33
2.Betimsel istatistik
Cevap: z = 1,5
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (85 − 70)/10 = 1,5
Cevap
z = 1,5
3.Olasılık
Cevap: σ = 1,388
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 1·0,25 + 2·0,3 + 3·0,15 + 4·0,15 + 5·0,15 = 2,65
Karelerin ortalaması
E(X²) = 1·0,25 + 4·0,3 + 9·0,15 + 16·0,15 + 25·0,15 = 8,95
Varyans
Var(X) = 8,95 − 2,65² = 1,927
σ = √1,927 = 1,388
Cevap
σ = 1,388
4.Olasılık
Cevap: σY = 2,124
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
X’in yayılımı
μ = 1,35, Var(X) = 1,128, σX = 1,062
Doğrusal değişim
σY = |2|·1,062 = 2,124
Cevap
σY = 2,124
Ortalama ise kayar: E(Y) = 2·1,35 + 1 = 3,7.
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,6703
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (85,75 − 100)/15 = −0,95
z₂ = (115 − 100)/15 = 1
Aradaki alan
P = Φ(1) − Φ(−0,95) = 0,8413 − 0,1711 = 0,6703
Cevap
P = 0,6703
6.Normal dağılım
Cevap: P = 0,8413
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standartlaştırın
z = (0 − 10)/10 = −1
Olasılık
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Cevap
P = 0,8413
7.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = 74,24
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 24, t = 2,064
Hata payı
E = 2,064·3/√25 = 1,238
Aralık
73 ± 1,238 → [71,76, 74,24]
Cevap
üst sınır = 74,24
8.Güven aralıkları
Cevap: σ = 5,727 µm
Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.
Kareler toplamı
(n − 1)s² = 15·3,7² = 205,4
σ² için sınırlar
205,4/27,488 = 7,471
205,4/6,262 = 32,79
σ için sınır
σ = √32,79 = 5,727 µm
Cevap
σ = 5,727 µm
σ için %95 aralık: [2,733, 5,727] µm.
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 1,504
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Ortalama farkın standart hatası
SE = 2,8/√11 = 0,8442
Test istatistiği
t = 1,27/0,8442 = 1,504
Cevap
t = 1,504
df = 10 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,228; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: 1 − β = 68,23 %
Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritik örneklem ortalaması
SE = 5/√25 = 1
x̄c = 80 − 2,326·1 = 77,67
Gerçek ortalama altında z
z = (77,67 − 77,2)/1 = 0,474
Güç
güç = P(Z < 0.474) = 68.23%
1 − β = 68,23%
Cevap
1 − β = 68,23%
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9927
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 2260 − 36·314/6 = 376
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 18482 − 314²/6 = 2049
Korelasyon katsayısı
r = 376/√(70·2049) = 0,9927
Cevap
r = 0,9927
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = 3,65
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 292/5 = 58,4
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 146
Regresyon doğrusu
b = 146/40 = 3,65
a = 58,4 − 3,65·20 = −14,6
ŷ = −14,6 + 3,65·x
Tahmin edilen değer
ŷ = −14,6 + 3,65·23 = 69,35
Artık
e = 73 − 69,35 = 3,65
Cevap
e = 3,65
Nokta doğrunun üstündedir.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1