İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 36, 18, 11, 25, 12, 39.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 500 ve standart sapması 60 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 590'ün üstündedir?

μ = 500σ = 60x = 590

P =

3.OlasılıkOrta

11 kişilik bir gruptan 2 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.

n = 11k = 2

N =

4.OlasılıkZor

12 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,1 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 12p = 0,1

P =

5.Normal dağılımOrta

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 164,35 ile 181,5 cm arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 178σ = 7x₁ = 164,35x₂ = 181,5

P =

6.Normal dağılımZor

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %20 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 250 gσ = 5 g20%

x = g

7.Güven aralıklarıOrta

11 birimlik bir örneklemin ortalaması 41 ve standart sapması s = 10,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 11x̄ = 41s = 10,590%t(10) = 1,812

E =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 37. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 3 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 37E = 399%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

8 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark 6,31 ve farkların standart sapması 4,7. H₀: μ_d = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.

n = 8d̄ = 6,31s_d = 4,7

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 3 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 10. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.

σ = 10E = 395%

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 12 için ŷ tahminini yapın.

n = 6x = 12

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 11,98

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 141/6 = 23,5

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 12,5² + (−5,5)² + (−12,5)² + 1,5² + (−11,5)² + 15,5² = 717,5

Standart sapma

s = √(717,5/5) = 11,98

Cevap

s = 11,98

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,06681

Standartlaştırın

z = 1,5

Standart normal tablo

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Cevap

P = 0,06681

3.Olasılık

Cevap: N = 55

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasyonlar

C(11, 2) = (11·10)/(2·1) = 55

Cevap

N = 55

4.Olasılık

Cevap: P = 0,659

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,9¹² = 0,2824

P(X = 1) = 12·0,1·0,9¹¹ = 0,3766

Toplayın

P = 0,2824 + 0,3766 = 0,659

Cevap

P = 0,659

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,6659

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (164,35 − 178)/7 = −1,95

z₂ = (181,5 − 178)/7 = 0,5

Aradaki alan

P = Φ(0,5) − Φ(−1,95) = 0,6915 − 0,02559 = 0,6659

Cevap

P = 0,6659

6.Normal dağılım

Cevap: x = 254,2 g

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,8

Tablodan z

z ≈ 0,84

Özgün birimlere geri dönüş

x = 250 + 0,84·5 = 254,2 g

Cevap

x = 254,2 g

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 5,737

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 10, t = 1,812

Hata payı

E = 1,812·10,5/√11 = 5,737

Cevap

E = 5,737

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 1010

n'yi çözün

n = (2,576·37/3)² = 1009

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 1010

Cevap

n = 1010

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 3,797

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ortalama farkın standart hatası

SE = 4,7/√8 = 1,662

Test istatistiği

t = 6,31/1,662 = 3,797

Cevap

t = 3,797

df = 7 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,365; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 43

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

n'yi çözün

n = (1,96·10/3)² = 42,68

Yukarı yuvarlayın

n = 43

Cevap

n = 43

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,962

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 307/5 = 61,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 439,2

Belirlilik katsayısı

r² = 130²/(40·439,2) = 0,962

Cevap

r² = 0,962

y’deki değişimin yaklaşık %96,2’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 79,52

Ortalamalar

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 365/6 = 60,83

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 327

Regresyon doğrusu

b = 327/70 = 4,671

a = 60,83 − 4,671·8 = 23,46

ŷ = 23,46 + 4,671·x

Tahmin

ŷ = 23,46 + 4,671·12 = 79,52

Cevap

ŷ = 79,52

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1