İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 43, 13, 44, 37, 51, 32, 31.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 100 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. 88 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 100σ = 8x = 88

z =

3.OlasılıkOrta

14 kişilik bir gruptan 4 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.

n = 14k = 4

N =

4.OlasılıkZor

Bir testte 8 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,2 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 3 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 8p = 0,2k = 3

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,9451 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,9451

z =

6.Normal dağılımZor

Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,02 mm, standart sapması 0,015 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,02 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

delik: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 50 telefon, ortalama 41,5 h, bilinen standart sapma 16 h. Model 2: 30 telefon, ortalama 30 h, bilinen standart sapma 7 h. μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n₁ = 50x̄₁ = 41,5 hσ₁ = 16 hn₂ = 30x̄₂ = 30 hσ₂ = 7 h99%

E = h

8.Güven aralıklarıZor

İşlenmiş 11 milin çaplarının örneklem standart sapması 12 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının üst sınır σ değerini bulun. df = 10 ile χ² dağılımının %2,5’i 3,247 değerinin altında, %2,5’i 20,483 değerinin üstündedir.

n = 11s = 12 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

100 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 499,3, örneklem standart sapması 4. H₀: μ = 500 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 500x̄ = 499,3s = 4n = 100

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir denemede A tedavisi alan 150 hastadan 38’i, B tedavisi alan 100 hastadan 37’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.

x₁ = 38n₁ = 150x₂ = 37n₂ = 100

z =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (21, 111) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(21, 111)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 12,31

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 251/7 = 35,86

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 7,143² + (−22,86)² + 8,143² + 1,143² + 15,14² + (−3,857)² + (−4,857)² = 908,9

Standart sapma

s = √(908,9/6) = 12,31

Cevap

s = 12,31

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −1,5

Standartlaştırın

z = (88 − 100)/8 = −1,5

Cevap

z = −1,5

3.Olasılık

Cevap: N = 1001

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasyonlar

C(14, 4) = (14·13·12·11)/(4·3·2·1) = 1001

Cevap

N = 1001

4.Olasılık

Cevap: P = 0,1468

Binom formülü

P(X = 3) = 56·0,2³·0,8⁵ = 56·0,008·0,3277 = 0,1468

Cevap

P = 0,1468

5.Normal dağılım

Cevap: z = 1,92

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,9451)/2 = 0,9726

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,9726 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 1,92

Cevap

z = 1,92

6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,7881

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Farkın dağılımı

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,025 mm

Standartlaştırın

z = (0 − 0,02)/0,025 = −0,8

Olasılık

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Cevap

P = 0,7881

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 6,694 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 41,5 − 30 = 11,5

Standart hata

SE = √(16²/50 + 7²/30) = 2,599

Hata payı

E = 2,576·2,599 = 6,694

Cevap

E = 6,694 h

Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.

8.Güven aralıkları

Cevap: σ = 21,06 µm

Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.

Kareler toplamı

(n − 1)s² = 10·12² = 1440

σ² için sınırlar

1440/20,483 = 70,3

1440/3,247 = 443,5

σ için sınır

σ = √443,5 = 21,06 µm

Cevap

σ = 21,06 µm

σ için %95 aralık: [8,385, 21,06] µm.

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −1,75

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

Test istatistiği

t = (499,3 − 500)/0,4 = −1,75

Cevap

t = −1,75

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: z = −1,972

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Örneklem oranları

p̂₁ = 38/150 = 0,2533

p̂₂ = 37/100 = 0,37

p̂ = 75/250 = 0,3

H₀ altında standart hata

SE = √(0,3·0,7·(1/150 + 1/100)) = 0,05916

Test istatistiği

z = (0,2533 − 0,37)/0,05916 = −1,972

Cevap

z = −1,972

|z| > 1,96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9486

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 278/5 = 55,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 41

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 177,2

Belirlilik katsayısı

r² = 41²/(10·177,2) = 0,9486

Cevap

r² = 0,9486

y’deki değişimin yaklaşık %94,86’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 3,25

Ortalamalar

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 505/5 = 101

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 270

Regresyon doğrusu

b = 270/40 = 6,75

a = 101 − 6,75·20 = −34

ŷ = −34 + 6,75·x

Tahmin edilen değer

ŷ = −34 + 6,75·21 = 107,8

Artık

e = 111 − 107,8 = 3,25

Cevap

e = 3,25

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1