İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 27, 48, 45, 41, 25, 46.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 170 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 176'ün altındadır?

μ = 170σ = 15x = 176

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,2, 0,25, 0,35

Var(X) =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 2X + 10. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,25, 0,15, 0,3Y = 2X + 10

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 488 ile 560 h arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 500σ = 40x₁ = 488x₂ = 560

P =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %95 olan x değerini bulun (95. yüzdelik).

μ = 65σ = 10P = 95%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

11 birimlik bir örneklemin ortalaması 120 ve standart sapması s = 15,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 11x̄ = 120s = 15,599%t(10) = 3,169

alt sınır =

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 6 parsel, ortalama verim 23 kg, standart sapma 4 kg. Parsel grubu 2: 8 parsel, ortalama 33,5 kg, standart sapma 1,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.

n₁ = 6x̄₁ = 23s₁ = 4n₂ = 8x̄₂ = 33,5s₂ = 1,590%t(12) = 1,782

alt sınır = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

16 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 101,7, örneklem standart sapması 4. H₀: μ = 100 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 100x̄ = 101,7s = 4n = 16

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

36 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 72,9. Anakütle standart sapması 5. Ortalama için %90 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 72,9σ = 5n = 3690%

U =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 6

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (4,5, 26) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(4,5, 26)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 10,09

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 232/6 = 38,67

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−11,67)² + 9,333² + 6,333² + 2,333² + (−13,67)² + 7,333² = 509,3

Standart sapma

s = √(509,3/5) = 10,09

Cevap

s = 10,09

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,6554

Standartlaştırın

z = 0,4

Standart normal tablo

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Cevap

P = 0,6554

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 1,287

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 1·0,2 + 2·0,2 + 3·0,25 + 4·0,35 = 2,75

Karelerin ortalaması

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,2 + 9·0,25 + 16·0,35 = 8,85

Varyans

Var(X) = 8,85 − 2,75² = 1,287

Cevap

Var(X) = 1,287

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 4,812

X’in yayılımı

μ = 2,9, Var(X) = 5,79, σ_X = 2,406

Doğrusal değişim

σ_Y = |2|·2,406 = 4,812

Cevap

σ_Y = 4,812

Ortalama ise kayar: E(Y) = 2·2,9 + 10 = 15,8.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,5511

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (488 − 500)/40 = −0,3

z₂ = (560 − 500)/40 = 1,5

Aradaki alan

P = Φ(1,5) − Φ(−0,3) = 0,9332 − 0,3821 = 0,5511

Cevap

P = 0,5511

6.Normal dağılım

Cevap: x = 81,45 puan

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

x’e geri dönüş

x = 65 + 1,645·10 = 81,45 puan

Cevap

x = 81,45 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 105,2

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Hata payı

E = 3,169·15,5/√11 = 14,81

Aralık

120 ± 14,81 → [105,2, 134,8]

Cevap

alt sınır = 105,2

8.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = −13,22 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (5·4² + 7·1,5²)/12 = 7,979

s_p = 2,825

Hata payı

E = 1,782·2,825·√(1/6 + 1/8) = 2,719

Aralık

−10,5 ± 2,719 → [−13,22, −7,781]

Cevap

alt sınır = −13,22 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 1,7

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 4/√16 = 4/4 = 1

Test istatistiği

t = (101,7 − 100)/1 = 1,7

Cevap

t = 1,7

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 74,27

Hata payı

E = 1,645·5/√36 = 1,371

Aralık sınırı

U = 72,9 + 1,371 = 74,27

Cevap

U = 74,27

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9624

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 415/6 = 69,17

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 571,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2155

Belirlilik katsayısı

r² = 571,5²/(157,5·2155) = 0,9624

Cevap

r² = 0,9624

y’deki değişimin yaklaşık %96,24’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 3,681

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 143/6 = 23,83

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26,5

Regresyon doğrusu

b = −26,5/17,5 = −1,514

a = 23,83 − (−1,514)·3,5 = 29,13

ŷ = 29,13 − 1,514·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 29,13 + (−1,514)·4,5 = 22,32

Artık

e = 26 − 22,32 = 3,681

Cevap

e = 3,681

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1