İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 41, 33, 38, 40, 58.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 170 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 130'ün altındadır?

μ = 170σ = 20x = 130

P =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 6 kırmızı ve 7 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

6 / 7

P =

4.OlasılıkZor

Bir oyunu oynamanın bedeli €5. 0,2 olasılıkla €10, 0,02 olasılıkla €50 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €5€10: p = 0,2€50: p = 0,02

E(G) = €

5.Normal dağılımOrta

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 25,1 ile 44,3 min arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 32σ = 6x₁ = 25,1x₂ = 44,3

P =

6.Normal dağılımZor

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %25 olan x değerini bulun (25. yüzdelik).

μ = 250σ = 5P = 25%

x = g

7.Güven aralıklarıOrta

12 birimlik bir örneklemin ortalaması 98,5 ve standart sapması s = 12. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 12x̄ = 98,5s = 1295%t(11) = 2,201

üst sınır =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 25. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 3 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 25E = 395%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

25 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 497,1, örneklem standart sapması 8. H₀: μ = 500 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 500x̄ = 497,1s = 8n = 25

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 0,5 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 10. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.

σ = 10E = 0,595%

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 30Σy = 349Σx² = 220Σy² = 25247Σxy = 2282

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (3, 18) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(3, 18)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 9,46

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 210/5 = 42

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−1)² + (−9)² + (−4)² + (−2)² + 16² = 358

Standart sapma

s = √(358/4) = 9,46

Cevap

s = 9,46

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,02275

Standartlaştırın

z = −2

Standart normal tablo

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Cevap

P = 0,02275

3.Olasılık

Cevap: P = 0,1923

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 6/13 · 5/12 = 30/156 = 0,1923

Cevap

P = 0,1923

4.Olasılık

Cevap: E(G) = −2 €

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Net sonuçlar

G: 5 (p = 0,2), 45 (p = 0,02), −5 (p = 0,78)

Beklenen değer

E(G) = 5·0,2 + 45·0,02 − 5·0,78 = −2 €

Cevap

E(G) = −2 €

Negatif bir değer, ortalamada para kaybettiğiniz anlamına gelir.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,8547

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (25,1 − 32)/6 = −1,15

z₂ = (44,3 − 32)/6 = 2,05

Aradaki alan

P = Φ(2,05) − Φ(−1,15) = 0,9798 − 0,1251 = 0,8547

Cevap

P = 0,8547

6.Normal dağılım

Cevap: x = 246,6 g

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

x’e geri dönüş

x = 250 + −0,6745·5 = 246,63 g

Cevap

x = 246,63 g

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 106,1

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 11, t = 2,201

Hata payı

E = 2,201·12/√12 = 7,624

Aralık

98,5 ± 7,624 → [90,88, 106,1]

Cevap

üst sınır = 106,1

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 267

n'yi çözün

n = (1,96·25/3)² = 266,8

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 267

Cevap

n = 267

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −1,812

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6

Test istatistiği

t = (497,1 − 500)/1,6 = −1,812

Cevap

t = −1,812

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 1537

n'yi çözün

n = (1,96·10/0,5)² = 1537

Yukarı yuvarlayın

n = 1537

Cevap

n = 1537

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9982

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 2282 − 30·349/5 = 188

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 25247 − 349²/5 = 886,8

Korelasyon katsayısı

r = 188/√(40·886,8) = 0,9982

Cevap

r = 0,9982

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 3,6

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 129/5 = 25,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

Regresyon doğrusu

b = 152/40 = 3,8

a = 25,8 − 3,8·6 = 3

ŷ = 3 + 3,8·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 3 + 3,8·3 = 14,4

Artık

e = 18 − 14,4 = 3,6

Cevap

e = 3,6

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1