İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 16, 12, 17, 25, 34.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 60 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. 30 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 60σ = 20x = 30

z =

3.OlasılıkOrta

6 kişilik bir gruptan 4 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.

n = 6k = 4

N =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 3X + 1. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,15, 0,3, 0,3Y = 3X + 1

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

X ortalaması 120 mm, standart sapması 0,3 mm olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 80 mm, standart sapması 0,4 mm olan normaldir. X + Y’nin 201 mm değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 201 mm

P =

6.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %60 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 178 cmσ = 7 cm60%

x = cm

7.Güven aralıklarıOrta

13 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 4,3 ve standart sapması 2,4. Ortalama fark için %95 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 13d̄ = 4,3s_d = 2,495%t(12) = 2,179

E = mmHg

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 15 parsel, ortalama verim 36 kg, standart sapma 5,5 kg. Parsel grubu 2: 11 parsel, ortalama 41,5 kg, standart sapma 2,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.

n₁ = 15x̄₁ = 36s₁ = 5,5n₂ = 11x̄₂ = 41,5s₂ = 2,590%t(24) = 1,711

alt sınır = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

81 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 48,13, örneklem standart sapması 12. H₀: μ = 50 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 50x̄ = 48,13s = 12n = 81

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 100’a karşı H₁: μ < 100 için tek yönlü bir z testi, 25 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.05 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 2.5 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 98.6’tir. II. tip hata olasılığı β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 100μ = 98,6σ = 2,5n = 25α = 0,05

β = %

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 3 için ŷ tahminini yapın.

n = 6x = 3

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 8,758

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 104/5 = 20,8

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−4,8)² + (−8,8)² + (−3,8)² + 4,2² + 13,2² = 306,8

Standart sapma

s = √(306,8/4) = 8,758

Cevap

s = 8,758

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −1,5

Standartlaştırın

z = (30 − 60)/20 = −1,5

Cevap

z = −1,5

3.Olasılık

Cevap: N = 15

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasyonlar

C(6, 4) = (6·5·4·3)/(4·3·2·1) = 15

Cevap

N = 15

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 3,457

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

X’in yayılımı

μ = 1,65, Var(X) = 1,328, σ_X = 1,152

Doğrusal değişim

σ_Y = |3|·1,152 = 3,457

Cevap

σ_Y = 3,457

Ortalama ise kayar: E(Y) = 3·1,65 + 1 = 5,95.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,02275

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standartlaştırın

z = (201 − 200)/0,5 = 2

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Cevap

P = 0,02275

6.Normal dağılım

Cevap: x = 179,8 cm

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,6

Tablodan z

z ≈ 0,25

Özgün birimlere geri dönüş

x = 178 + 0,25·7 = 179,8 cm

Cevap

x = 179,8 cm

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 1,45 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritik değer

df = 12, t = 2,179

Hata payı

E = 2,179·2,4/√13 = 1,45

Cevap

E = 1,45 mmHg

8.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = −8,556 kg

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (14·5,5² + 10·2,5²)/24 = 20,25

s_p = 4,5

Hata payı

E = 1,711·4,5·√(1/15 + 1/11) = 3,056

Aralık

−5,5 ± 3,056 → [−8,556, −2,444]

Cevap

alt sınır = −8,556 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −1,402

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333

Test istatistiği

t = (48,13 − 50)/1,333 = −1,402

Cevap

t = −1,402

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: β = 12,4 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 2,5/√25 = 0,5

x̄_c = 100 − 1,645·0,5 = 99,18

Gerçek ortalama altında z

z = (99,18 − 98,6)/0,5 = 1,155

II. tip hata

güç = P(Z < 1.155) = 87.6%

β = 100% − 87,6% = 12,4%

Cevap

β = 12,4%

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,93

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 379/5 = 75,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 582,8

Korelasyon katsayısı

r = 142/√(40·582,8) = 0,93

Cevap

r = 0,93

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 11,94

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 157/6 = 26,17

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 249

Regresyon doğrusu

b = 249/70 = 3,557

a = 26,17 − 3,557·7 = 1,267

ŷ = 1,267 + 3,557·x

Tahmin

ŷ = 1,267 + 3,557·3 = 11,94

Cevap

ŷ = 11,94

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1