İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama
x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan
sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı
z = (x − μ)/σ
Normal dağılım
68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen
P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normal dağılım

z puanı
z = (x − μ)/σ
x’in altında
P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında
Φ(z2) − Φ(z1)
Yüzdelik
x = μ + z·σ

Yöntem

  1. Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
  2. z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
  3. Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
  4. Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor
x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü
n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

  1. z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
  2. Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
  3. Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
  4. Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ortalama için t testi
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü
|z| > 1,96 ise H0’ı reddet
Güven aralığı
x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

  1. H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
  2. Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
  3. Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
  4. İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim
b = Sxy/Sxx
Kesişim noktası
a = ȳ − b·x̄
Korelasyon
r = Sxy/√(SxxSyy)
Artık
e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta
1015202530354045

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 47, 39, 38, 10, 41.

n = 5
s =
2.Betimsel istatistikZor
z −2−1012

Sınav puanları ortalaması 60 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. 30 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 60σ = 15x = 30
z =
3.OlasılıkOrta
xp(x)00,0510,320,330,35μ = 1,95

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,05, 0,3, 0,3, 0,35
σ =
4.OlasılıkZor
n = 7, p = 0,2: P(X = 3) = ?k01234567

Bir testte 7 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,2 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 3 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 7p = 0,2k = 3
P =
5.Normal dağılımOrta
246,25251,25P = ?

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 246,25 ile 251,25 g arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 250σ = 5x1 = 246,25x2 = 251,25
P =
6.Normal dağılımZor
10 cm0X − Y?

Bir gruptaki erkeklerin boyu X ve kadınların boyu Y bağımsız ve normaldir: X’in ortalaması 180 cm, standart sapması 10 cm; Y’nin ortalaması 170 cm, standart sapması 12 cm’dir. X’in Y’den büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.Güven aralıklarıOrta
n = 10, s = 20L = ?Ux̄ = 114E99%

10 birimlik bir örneklemin ortalaması 114 ve standart sapması s = 20. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 10x̄ = 114s = 2099%t(9) = 3,25
alt sınır =
8.Güven aralıklarıZor
σ = 16, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 199%

Anakütle standart sapması 16. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 1 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 16E = 199%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
t −1,99801,998

64 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 500,4, örneklem standart sapması 4. H₀: μ = 500 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 500x̄ = 500,4s = 4n = 64
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 3α = 0,05βσ = 22, güç 95%, n = ?

α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 3 birimlik bir kaymayı %95 güçle saptamalıdır. Standart sapma 22. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,05güç = 95%δ = 3σ = 22zα = 1,645zβ = 1,645
n =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
xy12122131441159xy24101520

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5
r² =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
xy254661481410211225xy5101020x = 3

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (3, 4) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(3, 4)
e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 14,4

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 175/5 = 35

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 12² + 4² + 3² + (−25)² + 6² = 830

Standart sapma

s = √(830/4) = 14,4

Cevap

s = 14,4
2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −2

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Standartlaştırın

z = (30 − 60)/15 = −2

Cevap

z = −2
3.Olasılık

Cevap: σ = 0,9206

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,05 + 1·0,3 + 2·0,3 + 3·0,35 = 1,95

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,05 + 1·0,3 + 4·0,3 + 9·0,35 = 4,65

Varyans

Var(X) = 4,65 − 1,95² = 0,8475
σ = √0,8475 = 0,9206

Cevap

σ = 0,9206
4.Olasılık

Cevap: P = 0,1147

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binom formülü

P(X = 3) = 35·0,23·0,84 = 35·0,008·0,4096 = 0,1147

Cevap

P = 0,1147
5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,3721

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (246,25 − 250)/5 = −0,75
z₂ = (251,25 − 250)/5 = 0,25

Aradaki alan

P = Φ(0,25) − Φ(−0,75) = 0,5987 − 0,2266 = 0,3721

Cevap

P = 0,3721
6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,7389

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Farkın dağılımı

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standartlaştırın

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Olasılık

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Cevap

P = 0,7389
7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 93,45

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 9, t = 3,25

Hata payı

E = 3,25·20/√10 = 20,55

Aralık

114 ± 20,55 → [93,45, 134,6]

Cevap

alt sınır = 93,45
8.Güven aralıkları

Cevap: n = 1699

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (2,576·16/1)² = 1699

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 1699

Cevap

n = 1699
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 0,8

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 4/√64 = 4/8 = 0,5

Test istatistiği

t = (500,4 − 500)/0,5 = 0,8

Cevap

t = 0,8
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| < 1.998, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 583

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((1,645 + 1,645)·22/3)² = 582,1

Yukarı yuvarlayın

n = 583

Cevap

n = 583
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9263

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 76/5 = 15,2

Kareler ve çarpımlar toplamları

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34
Syy = Σ(y − ȳ)² = 124,8

Belirlilik katsayısı

r² = −34²/(10·124,8) = 0,9263

Cevap

r² = 0,9263

y’deki değişimin yaklaşık %92,63’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = −1,881

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 85/6 = 14,17

Kareler ve çarpımlar toplamları

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 145

Regresyon doğrusu

b = 145/70 = 2,071
a = 14,17 − 2,071·7 = −0,3333
ŷ = −0,3333 + 2,071·x

Tahmin edilen değer

ŷ = −0,3333 + 2,071·3 = 5,881

Artık

e = 4 − 5,881 = −1,881

Cevap

e = −1,881

Nokta doğrunun altındadır.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1