İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 34, 48, 60, 40, 60, 47, 39.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 50 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 42,5'ün üstündedir?

μ = 50σ = 5x = 42,5

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,2, 0,35, 0,15

Var(X) =

4.OlasılıkZor

7 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,6 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 7p = 0,6

P =

5.Normal dağılımOrta

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 20 ile 41,3 min arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 32σ = 6x₁ = 20x₂ = 41,3

P =

6.Normal dağılımZor

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %90 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 100 puanσ = 15 puan90%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

20 birimlik bir örneklemin ortalaması 69,5 ve standart sapması s = 5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 20x̄ = 69,5s = 599%t(19) = 2,861

E =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 40. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 40E = 595%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

7 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark 5,98 ve farkların standart sapması 11,3. H₀: μ_d = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.

n = 7d̄ = 5,98s_d = 11,3

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 1,5 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 4. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.

σ = 4E = 1,599%

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 6

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 62 tahmin eder?

n = 5ŷ = 62

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 10,17

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 328/7 = 46,86

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−12,86)² + 1,143² + 13,14² + (−6,857)² + 13,14² + 0,1429² + (−7,857)² = 620,9

Standart sapma

s = √(620,9/6) = 10,17

Cevap

s = 10,17

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,9332

Standartlaştırın

z = −1,5

Standart normal tablo

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Cevap

P = 0,9332

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 4,51

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,3 + 2·0,2 + 4·0,35 + 6·0,15 = 2,7

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,2 + 16·0,35 + 36·0,15 = 11,8

Varyans

Var(X) = 11,8 − 2,7² = 4,51

Cevap

Var(X) = 4,51

4.Olasılık

Cevap: P = 0,01884

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,4⁷ = 0,001638

P(X = 1) = 7·0,6·0,4⁶ = 0,0172

Toplayın

P = 0,001638 + 0,0172 = 0,01884

Cevap

P = 0,01884

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,9167

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (20 − 32)/6 = −2

z₂ = (41,3 − 32)/6 = 1,55

Aradaki alan

P = Φ(1,55) − Φ(−2) = 0,9394 − 0,02275 = 0,9167

Cevap

P = 0,9167

6.Normal dağılım

Cevap: x = 119,2 puan

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,9

Tablodan z

z ≈ 1,28

Özgün birimlere geri dönüş

x = 100 + 1,28·15 = 119,2 puan

Cevap

x = 119,2 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 3,199

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 19, t = 2,861

Hata payı

E = 2,861·5/√20 = 3,199

Cevap

E = 3,199

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 246

n'yi çözün

n = (1,96·40/5)² = 245,9

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 246

Cevap

n = 246

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 1,4

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ortalama farkın standart hatası

SE = 11,3/√7 = 4,271

Test istatistiği

t = 5,98/4,271 = 1,4

Cevap

t = 1,4

df = 6 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,447; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 48

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

n'yi çözün

n = (2,576·4/1,5)² = 47,19

Yukarı yuvarlayın

n = 48

Cevap

n = 48

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9688

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 452/6 = 75,33

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 292

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1257

Belirlilik katsayısı

r² = 292²/(70·1257) = 0,9688

Cevap

r² = 0,9688

y’deki değişimin yaklaşık %96,88’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 5,022

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 332/5 = 66,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 180

Regresyon doğrusu

b = 180/40 = 4,5

a = 66,4 − 4,5·6 = 39,4

ŷ = 39,4 + 4,5·x

x için çözün

x = (62 − 39,4)/4,5 = 5,022

Cevap

x = 5,022

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1