Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 40, 39, 27, 19, 53.
n = 5
s =
2.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 60 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. 36 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 60σ = 20x = 36
z =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,05, 0,35
σ =
4.OlasılıkZor
Bir testte 5 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,6 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 3 doğru cevap olasılığı P nedir?
n = 5p = 0,6k = 3
P =
5.Normal dağılımOrta
teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 20 ile 44,3 min arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 32σ = 6x1 = 20x2 = 44,3
P =
6.Normal dağılımZor
Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,04 mm, standart sapması 0,015 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,015 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
delik: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
7.Güven aralıklarıOrta
20 birimlik bir örneklemin ortalaması 58,5 ve standart sapması s = 2. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.
n = 20x̄ = 58,5s = 295%t(19) = 2,093
üst sınır =
8.Güven aralıklarıZor
İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 14 parsel, ortalama verim 29 kg, standart sapma 1,5 kg. Parsel grubu 2: 7 parsel, ortalama 19,5 kg, standart sapma 5,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.
n₁ = 14x̄₁ = 29s₁ = 1,5n₂ = 7x̄₂ = 19,5s₂ = 5,590%t(19) = 1,729
alt sınır = kg
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
8 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark 3,02 ve farkların standart sapması 4,5. H₀: μd = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.
n = 8d̄ = 3,02sd = 4,5
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
H₀: μ = 200’a karşı H₁: μ < 200 için tek yönlü bir z testi, 25 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.01 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 12.5 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 190.75’tir. II. tip hata olasılığı β değerini yüzde olarak bulun.
μ₀ = 200μ = 190,75σ = 12,5n = 25α = 0,01
β = %
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 21,5 için ŷ tahminini yapın.
n = 6x = 21,5
ŷ =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 13,07
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 178/5 = 35,6
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 4,4² + 3,4² + (−8,6)² + (−16,6)² + 17,4² = 683,2
Standart sapma
s = √(683,2/4) = 13,07
Cevap
s = 13,07
2.Betimsel istatistik
Cevap: z = −1,2
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (36 − 60)/20 = −1,2
Cevap
z = −1,2
3.Olasılık
Cevap: σ = 2,488
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 0·0,3 + 2·0,3 + 4·0,05 + 6·0,35 = 2,9
Karelerin ortalaması
E(X²) = 0·0,3 + 4·0,3 + 16·0,05 + 36·0,35 = 14,6
Varyans
Var(X) = 14,6 − 2,9² = 6,19
σ = √6,19 = 2,488
Cevap
σ = 2,488
4.Olasılık
Cevap: P = 0,3456
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binom formülü
P(X = 3) = 10·0,63·0,42 = 10·0,216·0,16 = 0,3456
Cevap
P = 0,3456
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,9571
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (20 − 32)/6 = −2
z₂ = (44,3 − 32)/6 = 2,05
Aradaki alan
P = Φ(2,05) − Φ(−2) = 0,9798 − 0,02275 = 0,9571
Cevap
P = 0,9571
6.Normal dağılım
Cevap: P = 0,9706
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02121 mm
Standartlaştırın
z = (0 − 0,04)/0,02121 = −1,89
Olasılık
P = 1 − Φ(−1,89) = 0,9706
Cevap
P = 0,9706
7.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = 59,44
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 19, t = 2,093
Hata payı
E = 2,093·2/√20 = 0,936
Aralık
58,5 ± 0,936 → [57,56, 59,44]
Cevap
üst sınır = 59,44
8.Güven aralıkları
Cevap: alt sınır = 6,834 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Birleştirilmiş standart sapma
sp² = (13·1,5² + 6·5,5²)/19 = 11,09
sp = 3,33
Hata payı
E = 1,729·3,33·√(1/14 + 1/7) = 2,666
Aralık
9,5 ± 2,666 → [6,834, 12,17]
Cevap
alt sınır = 6,834 kg
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 1,898
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Ortalama farkın standart hatası
SE = 4,5/√8 = 1,591
Test istatistiği
t = 3,02/1,591 = 1,898
Cevap
t = 1,898
df = 7 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,365; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: β = 8,472 %
Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritik örneklem ortalaması
SE = 12,5/√25 = 2,5
x̄c = 200 − 2,326·2,5 = 194,2
Gerçek ortalama altında z
z = (194,2 − 190,75)/2,5 = 1,374
II. tip hata
güç = P(Z < 1.374) = 91.53%
β = 100% − 91,53% = 8,472%
Cevap
β = 8,472%
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9903
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 304/5 = 60,8
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 254
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1645
Korelasyon katsayısı
r = 254/√(40·1645) = 0,9903
Cevap
r = 0,9903
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: ŷ = 112,3
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 129/6 = 21,5
ȳ = 674/6 = 112,3
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 900
Regresyon doğrusu
b = 900/157,5 = 5,714
a = 112,3 − 5,714·21,5 = −10,52
ŷ = −10,52 + 5,714·x
Tahmin
ŷ = −10,52 + 5,714·21,5 = 112,3
Cevap
ŷ = 112,3
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1