İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 60, 31, 40, 49, 42, 15, 29.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 500 ve standart sapması 60 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 440'ün altındadır?

μ = 500σ = 60x = 440

P =

3.OlasılıkOrta

Hilesiz bir zar 4 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?

n = 4

P =

4.OlasılıkZor

Bir testte 5 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,7 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 3 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 5p = 0,7k = 3

P =

5.Normal dağılımOrta

bagajlı yolcular kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 85 kg, standart sapma 12 kg. Bunlardan 6 tanesinin toplam kütlesinin 554,1 kg değerini aşma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 6> 554,1 kg

P =

6.Normal dağılımZor

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %70 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 100 puanσ = 15 puan70%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 60 telefon, ortalama 107 h, bilinen standart sapma 9 h. Model 2: 80 telefon, ortalama 119 h, bilinen standart sapma 13 h. μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının alt sınırını bulun.

n₁ = 60x̄₁ = 107 hσ₁ = 9 hn₂ = 80x̄₂ = 119 hσ₂ = 13 h99%

alt sınır = h

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 6 parsel, ortalama verim 47,5 kg, standart sapma 9 kg. Parsel grubu 2: 25 parsel, ortalama 46,5 kg, standart sapma 3,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.

n₁ = 6x̄₁ = 47,5s₁ = 9n₂ = 25x̄₂ = 46,5s₂ = 3,590%t(29) = 1,699

üst sınır = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

36 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 498,8, örneklem standart sapması 8. H₀: μ = 500 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 500x̄ = 498,8s = 8n = 36

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

49 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 73,6. Anakütle standart sapması 8. Ortalama için %99 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 73,6σ = 8n = 4999%

U =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (4,5, 21) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(4,5, 21)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 14,63

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 266/7 = 38

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 22² + (−7)² + 2² + 11² + 4² + (−23)² + (−9)² = 1284

Standart sapma

s = √(1284/6) = 14,63

Cevap

s = 14,63

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,1587

Standartlaştırın

z = −1

Standart normal tablo

Φ(−1) = 0,1587

P = 0,1587

Cevap

P = 0,1587

3.Olasılık

Cevap: P = 0,5177

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tümleyen

P(altı yok) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Cevap

P = 0,5177

4.Olasılık

Cevap: P = 0,3087

Binom formülü

P(X = 3) = 10·0,7³·0,3² = 10·0,343·0,09 = 0,3087

Cevap

P = 0,3087

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,06681

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ_T = 510 kg, σ_T = 12·√6 = 29,39 kg

Standartlaştırın

z = (554,1 − 510)/29,39 = 1,5

Olasılık

P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681

Cevap

P = 0,06681

6.Normal dağılım

Cevap: x = 107,8 puan

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,7

Tablodan z

z ≈ 0,52

Özgün birimlere geri dönüş

x = 100 + 0,52·15 = 107,8 puan

Cevap

x = 107,8 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = −16,79 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 107 − 119 = −12

Standart hata

SE = √(9²/60 + 13²/80) = 1,861

Hata payı

E = 2,576·1,861 = 4,793

Aralık

−12 ± 4,793 → [−16,79, −7,207]

Cevap

alt sınır = −16,79 h

Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.

8.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 4,792 kg

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (5·9² + 24·3,5²)/29 = 24,1

s_p = 4,91

Hata payı

E = 1,699·4,91·√(1/6 + 1/25) = 3,792

Aralık

1 ± 3,792 → [−2,792, 4,792]

Cevap

üst sınır = 4,792 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −0,9

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333

Test istatistiği

t = (498,8 − 500)/1,333 = −0,9

Cevap

t = −0,9

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 76,54

Hata payı

E = 2,576·8/√49 = 2,944

Aralık sınırı

U = 73,6 + 2,944 = 76,54

Cevap

U = 76,54

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9968

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 145/6 = 24,17

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 227

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 740,8

Korelasyon katsayısı

r = 227/√(70·740,8) = 0,9968

Cevap

r = 0,9968

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 1,9

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 112/5 = 22,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22

Regresyon doğrusu

b = −22/10 = −2,2

a = 22,4 − (−2,2)·3 = 29

ŷ = 29 − 2,2·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 29 + (−2,2)·4,5 = 19,1

Artık

e = 21 − 19,1 = 1,9

Cevap

e = 1,9

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1