İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama
x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan
sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı
z = (x − μ)/σ
Normal dağılım
68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen
P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normal dağılım

z puanı
z = (x − μ)/σ
x’in altında
P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında
Φ(z2) − Φ(z1)
Yüzdelik
x = μ + z·σ

Yöntem

  1. Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
  2. z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
  3. Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
  4. Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor
x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü
n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

  1. z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
  2. Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
  3. Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
  4. Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ortalama için t testi
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü
|z| > 1,96 ise H0’ı reddet
Güven aralığı
x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

  1. H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
  2. Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
  3. Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
  4. İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim
b = Sxy/Sxx
Kesişim noktası
a = ȳ − b·x̄
Korelasyon
r = Sxy/√(SxxSyy)
Artık
e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta
15202530354045

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 42, 13, 24, 47, 17.

n = 5
s =
2.Betimsel istatistikZor
z −2−1012

Bir büyüklük ortalaması 500 ve standart sapması 50 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 475'ün üstündedir?

μ = 500σ = 50x = 475
P =
3.OlasılıkOrta
xp(x)00,1510,2520,3530,240,05μ = 1,75

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,25, 0,35, 0,2, 0,05
Var(X) =
4.OlasılıkZor
n = 6, p = 0,1: P(X ≤ 1) = ?k0123456

6 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,1 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 6p = 0,1
P =
5.Normal dağılımOrta
200 mm200,5 mmX + Y?

X ortalaması 120 mm, standart sapması 0,3 mm olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 80 mm, standart sapması 0,4 mm olan normaldir. X + Y’nin 200,5 mm değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 200,5 mm
P =
6.Normal dağılımZor
μ = 65x = ?97,5%

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %97,5 olan x değerini bulun (97,5. yüzdelik).

μ = 65σ = 10P = 97,5%
x = puan
7.Güven aralıklarıOrta
n = 13, s = 11LU = ?x̄ = 11,5E95%

13 birimlik bir örneklemin ortalaması 11,5 ve standart sapması s = 11. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 13x̄ = 11,5s = 1195%t(12) = 2,179
üst sınır =
8.Güven aralıklarıZor
σ = 22, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 599%

Anakütle standart sapması 22. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 22E = 599%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
t −1,9901,99

81 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 199, örneklem standart sapması 10. H₀: μ = 200 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 200x̄ = 199s = 10n = 81
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
−1,961,96z = ?

Bir denemede A tedavisi alan 120 hastadan 30’i, B tedavisi alan 200 hastadan 74’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.

x₁ = 30n₁ = 120x₂ = 74n₂ = 200
z =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
xy326436540641744846xy4683040

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6Σx = 33Σy = 233Σx² = 199Σy² = 9305Σxy = 1344
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
xy126223323417516613xy246152025ŷ = 14

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 14 tahmin eder?

n = 6ŷ = 14
x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 15,14

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 143/5 = 28,6

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 13,4² + (−15,6)² + (−4,6)² + 18,4² + (−11,6)² = 917,2

Standart sapma

s = √(917,2/4) = 15,14

Cevap

s = 15,14
2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,6915

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Standartlaştırın

z = −0,5

Standart normal tablo

Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Cevap

P = 0,6915
3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 1,188

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,15 + 1·0,25 + 2·0,35 + 3·0,2 + 4·0,05 = 1,75

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,25 + 4·0,35 + 9·0,2 + 16·0,05 = 4,25

Varyans

Var(X) = 4,25 − 1,75² = 1,188

Cevap

Var(X) = 1,188
4.Olasılık

Cevap: P = 0,8857

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,96 = 0,5314
P(X = 1) = 6·0,1·0,95 = 0,3543

Toplayın

P = 0,5314 + 0,3543 = 0,8857

Cevap

P = 0,8857
5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,1587

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standartlaştırın

z = (200,5 − 200)/0,5 = 1

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Cevap

P = 0,1587
6.Normal dağılım

Cevap: x = 84,6 puan

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

x’e geri dönüş

x = 65 + 1,96·10 = 84,6 puan

Cevap

x = 84,6 puan
7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 18,15

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 12, t = 2,179

Hata payı

E = 2,179·11/√13 = 6,648

Aralık

11,5 ± 6,648 → [4,852, 18,15]

Cevap

üst sınır = 18,15
8.Güven aralıkları

Cevap: n = 129

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (2,576·22/5)² = 128,5

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 129

Cevap

n = 129
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −0,9

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111

Test istatistiği

t = (199 − 200)/1,111 = −0,9

Cevap

t = −0,9
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| < 1.99, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: z = −2,219

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Örneklem oranları

p̂₁ = 30/120 = 0,25
p̂₂ = 74/200 = 0,37
p̂ = 104/320 = 0,325

H₀ altında standart hata

SE = √(0,325·0,675·(1/120 + 1/200)) = 0,05408

Test istatistiği

z = (0,25 − 0,37)/0,05408 = −2,219

Cevap

z = −2,219

|z| > 1,96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9323

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

Sxy = 1344 − 33·233/6 = 62,5
Sxx = 199 − 33²/6 = 17,5
Syy = 9305 − 233²/6 = 256,8

Korelasyon katsayısı

r = 62,5/√(17,5·256,8) = 0,9323

Cevap

r = 0,9323
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 5,656

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 118/6 = 19,67

Kareler ve çarpımlar toplamları

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −46

Regresyon doğrusu

b = −46/17,5 = −2,629
a = 19,67 − (−2,629)·3,5 = 28,87
ŷ = 28,87 − 2,629·x

x için çözün

x = (14 − 28,87)/(−2,629) = 5,656

Cevap

x = 5,656

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1